Доказать, что линейная оболочка системы векторов совпадает с пространством

Задание "Salve 3.54"

Принадлежит к курсу линейной алгебры, а конкретно касается линейных пространств и их подпространств, а также линейных оболочек.

Условие задачи 3.54:

Доказать, что линейная оболочка системы векторов \[x_1, x_2, x_3\] совпадает с пространством \( R^3 \), если:

• \( x_1 = (1, 1, 1) \)
• \( x_2 = (1, 1, 0) \)
• \( x_3 = (1, 0, 0) \)

Определение и основные понятия:

Линейная оболочка (или множество всех линейных комбинаций) векторов — это множество всех векторов, которые могут быть представлены как линейные комбинации векторов \(x_1, x_2, x_3\):

\[ \text{L}(x_1, x_2, x_3) = \{ \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3 \mid \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R} \}. \]

Задача состоит в том, чтобы доказать, что линейная оболочка этих векторов совпадает с пространством \( R^3 \), т.е. любой вектор в \( R^3 \) может быть представлен как их линейная комбинация.

Шаг 1: Представление линейной комбинации

Пусть произвольный вектор \( v \in R^3 \) имеет вид \( v = (v_1, v_2, v_3) \). Попытаемся представить его как линейную комбинацию векторов \(x_1, x_2, x_3\):

\[ v = \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3. \]

Подставим значения векторов:

\[ ( v_1, v_2, v_3 ) = \alpha_1(1, 1, 1) + \alpha_2(1, 1, 0) + \alpha_3(1, 0, 0). \]

Теперь распишем систему по компонентам (по координатам):

\[ v_1 = \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot 1, \]
\[ v_2 = \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot 0, \]
\[ v_3 = \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 0 + \alpha_3 \cdot 0. \]

Соответственно, получаем систему уравнений:

\[ \begin{cases} v_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \\ v_2 = \alpha_1 + \alpha_2, \\ v_3 = \alpha_1. \end{cases} \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Решим систему уравнений поэтапно:

1. Из третьего уравнения получаем, что \( \alpha_1 = v_3 \).
2. Подставляем \( \alpha_1 = v_3 \) во второе уравнение:

   \[ v_2 = v_3 + \alpha_2 \implies \alpha_2 = v_2 - v_3. \]

3. Подставляем значения \( \alpha_1 = v_3 \) и \( \alpha_2 = v_2 - v_3 \) в первое уравнение:

   \[ v_1 = v_3 + (v_2 - v_3) + \alpha_3 \implies \alpha_3 = v_1 - v_2. \]

Шаг 3: Вывод

\[ \alpha_1 = v_3, \ \alpha_2 = v_2 - v_3, \ \alpha_3 = v_1 - v_2. \]

Следовательно, любой вектор \( v \in R^3 \) можно выразить как линейную комбинацию векторов \( x_1, x_2, x_3 \), то есть линейная оболочка векторов \( x_1, x_2, x_3 \) совпадает с пространством \( R^3 \).

Ответ:

Линейная оболочка векторов \( \{x_1, x_2, x_3\} \) действительно совпадает с пространством \( R^3 \).

Мы выразили все коэффициенты \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) через координаты произвольного вектора \( v = (v_1, v_2, v_3) \):