Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Определители и их свойства

Дан определитель:
[ D = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 1 & 7 \ 4 & -8 & 2 & -3 \ 10 & 1 & -5 & 4 \ -8 & 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} ]

1. Миноры и алгебраические дополнения

Минор элемента a_{ij} — это определитель матрицы, полученной удалением i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение вычисляется по формуле:
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},
где M_{ij} — минор элемента a_{ij}.

Миноры и алгебраические дополнения элементов 4-й строки (i = 4)

Рассмотрим элементы 4-й строки:
\{-8, 3, 2, -1\}.

1. Минор M_{41} (удаляем 4-ю строку и 1-й столбец):
   [ M_{41} = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 7 \ -8 & 2 & -3 \ 1 & -5 & 4 \end{vmatrix} ]
2. Минор M_{42} (удаляем 4-ю строку и 2-й столбец):
   [ M_{42} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 7 \ 4 & 2 & -3 \ 10 & -5 & 4 \end{vmatrix} ]
3. Минор M_{43} (удаляем 4-ю строку и 3-й столбец):
   [ M_{43} = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 7 \ 4 & -8 & -3 \ 10 & 1 & 4 \end{vmatrix} ]
4. Минор M_{44} (удаляем 4-ю строку и 4-й столбец):
   [ M_{44} = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 1 \ 4 & -8 & 2 \ 10 & 1 & -5 \end{vmatrix} ]

Алгебраические дополнения:
FORMULAPLACEHOLDER
 [ A{41} = (-1)^{4+1} M{41} = -M{41} ] [ A{42} = (-1)^{4+2} M{42} = M{42} ] [ A{43} = (-1)^{4+3} M{43} = -M{43} ] [ A{44} = (-1)^{4+4} M{44} = M_{44} ]

Миноры и алгебраические дополнения элементов 2-го столбца (j = 2)

Рассмотрим элементы 2-го столбца:
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.

1. Минор \{-2, -8, 1, 3\} (удаляем 1-ю строку и 2-й столбец):
   [ M_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -3 \ 10 & -5 & 4 \ -8 & 2 & -1 \end{vmatrix} ]
2. Минор M_{12} (удаляем 2-ю строку и 2-й столбец):
   [ M_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 7 \ 10 & -5 & 4 \ -8 & 2 & -1 \end{vmatrix} ]
3. Минор M_{22} (удаляем 3-ю строку и 2-й столбец):
   [ M_{32} = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 7 \ 4 & -8 & -3 \ -8 & 3 & -1 \end{vmatrix} ]
4. Минор M_{32} (удаляем 4-ю строку и 2-й столбец):
   [ M_{42} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 7 \ 4 & 2 & -3 \ 10 & -5 & 4 \end{vmatrix} ]

Алгебраические дополнения:
[ A{12} = (-1)^{1+2} M{12} = -M{12} ] [ A{22} = (-1)^{2+2} M{22} = M{22} ] [ A{32} = (-1)^{3+2} M{32} = -M{32} ] [ A{42} = (-1)^{4+2} M{42} = M{42} ]

2. Вычисление определителя D

а) Разложение по 4-й строке (i = 4)

По формуле разложения по строке: [ D = a{41} A{41} + a{42} A{42} + a{43} A{43} + a{44} A{44} ] [ D = (-8)(-M{41}) + (3)(M{42}) + (2)(-M{43}) + (-1)(M{44}) ]

б) Разложение по 2-му столбцу (j = 2)

По формуле разложения по столбцу: [ D = a{12} A{12} + a{22} A{22} + a{32} A{32} + a{42} A{42} ] [ D = (-2)(-M{12}) + (-8)(M{22}) + (1)(-M{32}) + (3)(M{42}) ]

После подстановки значений миноров можно вычислить конкретное значение определителя.

Вывод:

Мы нашли миноры и алгебраические дополнения элементов 4-й строки и 2-го столбца, а также записали разложения определителя по этим элементам. Для окончательного ответа остается вычислить значения миноров и подставить их в формулы.