Даны вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD.

Определение предмета и раздела предмета

Задание относится к предмету "Геометрия" раздел "Векторная алгебра". Мы будем использовать методы векторной алгебры для нахождения длины высоты пирамиды.

Решение

Для нахождения высоты пирамиды, опущенной из вершины $\text{(}A\text{)}$ на плоскость $\text{(}BCD\text{)}$, нужно:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $\text{(}B\text{)}$, $\text{(}C\text{)}$ и $\text{(}D\text{)}$.
2. Найти расстояние от точки $\text{(}A\text{)}$ до этой плоскости.

Шаг 1: Уравнение плоскости через точки $\text{(}B\text{)}$, $\text{(}C\text{)}$ и $\text{(}D\text{)}$

Используем определитель для нахождения уравнения плоскости:

$\text{[}\left|\begin{array}{ccc}x-x_B& y-y_B& z-z_B\\ x_C-x_B& y_C-y_B& z_C-z_B\\ x_D-x_B& y_D-y_B& z_D-z_B\end{array}\right|=0\text{]}$

Подставляем координаты точек $\text{(}B(3,0,4)\text{)}$, $\text{(}C(0,0,4)\text{)}$, $\text{(}D(5,-1,-3)\text{)}$:

$\text{[}\left|\begin{array}{ccc}x-3& y& z-4\\ -3& 0& 0\\ 2& -1& -7\end{array}\right|=0\text{]}$

Раскроем определитель:

$\text{[}-3\left|\begin{array}{cc}y& z-4\\ -1& -7\end{array}\right|=0\text{]}$

$\text{[}21y+z-4=0\text{]}$

Итак, уравнение плоскости: $\text{[}x-21y+z-4=0\text{]}$

Шаг 2: Расстояние от точки $\text{(}A(4,2,-1)\text{)}$ до плоскости $\text{(}x-21y+z-4=0\text{)}$

Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости:

$\text{[}d=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\text{]}$

где $\text{(}ax+by+cz+d=0\text{)}$ — уравнение плоскости, а точка имеет координаты $\text{(}(x_1,y_1,z_1)\text{)}$. Коэффициенты $\text{(}a=1\text{)}$, $\text{(}b=-21\text{)}$, $\text{(}c=1\text{)}$, $\text{(}d=-4\text{)}$.

Подставляем координаты точки $\text{(}A(4,2,-1)\text{)}$:

$\text{[}d=\frac{|4-42-1-4|}{\sqrt{1+441+1}}\text{]}$

$\text{[}d=\frac{|-43|}{\sqrt{443}}\text{]}$

$\text{[}d=\frac{43\sqrt{443}}{443}\text{]}$

$\text{[}d=\frac{43}{21}\text{]}$

Таким образом, длина высоты пирамиды, опущенной из вершины $\text{(}A\text{)}$ на плоскость $\text{(}BCD\text{)}$, равна $\text{(}\frac{43}{21}\text{)}$ единиц.