Даны вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD.

Условие:

Даны вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD. A(4;2;-1)B(3;0;4)C(0;0;4)D(5;-1;-3)

Решение:

### Определение предмета и раздела предмета Задание относится к предмету "Геометрия" раздел "Векторная алгебра". Мы будем использовать методы векторной алгебры для нахождения длины высоты пирамиды. ### Решение Для нахождения высоты пирамиды, опущенной из вершины \( A \) на плоскость \( BCD \), нужно: 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки \( B \), \( C \) и \( D \). 2. Найти расстояние от точки \( A \) до этой плоскости. #### Шаг 1: Уравнение плоскости через точки \( B \), \( C \) и \( D \) Используем определитель для нахождения уравнения плоскости: \[ \left| \begin{array}{ccc} x - x_B & y - y_B & z - z_B \\ x_C - x_B & y_C - y_B & z_C - z_B \\ x_D - x_B & y_D - y_B & z_D - z_B \end{array} \right| = 0 \] Подставляем координаты точек \( B(3, 0, 4) \), \( C(0, 0, 4) \), \( D(5, -1, -3) \): \[ \left| \begin{array}{ccc} x - 3 & y & z - 4 \\ 0 - 3 & 0 - 0 & 4 - 4 \\ 5 - 3 & -1 - 0 & -3 - 4 \end{array} \right| = 0 \] \[ \left| \begin{array}{ccc} x - 3 & y & z - 4 \\ -3 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -7 \end{array} \right| = 0 \] Раскроем определитель: \[ -3 \left| \begin{array}{cc} y & z - 4 \\ -1 & -7 \end{array} \right| = 0 \] \[ -3 (y \cdot (-7) - (z - 4) \cdot (-1)) = 0 \] \[ 21y + z - 4 = 0 \] Итак, уравнение плоскости: \[ x - 21y + z - 4 = 0 \] #### Шаг 2: Расстояние от точки \( A(4, 2, -1) \) до плоскости \( x - 21y + z - 4 = 0 \) Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] где \( ax + by + cz + d = 0 \) — уравнение плоскости, а точка имеет координаты \((x_1, y_1, z_1)\). Коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -21 \), \( c = 1 \), \( d = -4 \). Подставляем координаты точки \( A(4, 2, -1) \): \[ d = \frac{|1 \cdot 4 + (-21) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) - 4|}{\sqrt{1^2 + (-21)^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|4 - 42 - 1 - 4|}{\sqrt{1 + 441 + 1}} \] \[ d = \frac{|-43|}{\sqrt{443}} \] \[ d = \frac{43}{\sqrt{443}} \] Приведем в стандартный вид: \[ d = \frac{43}{\sqrt{443}} \cdot \frac{\sqrt{443}}{\sqrt{443}} = \frac{43\sqrt{443}}{443} \] \[ d = \frac{43}{21} \] Таким образом, длина высоты пирамиды, опущенной из вершины \( A \) на плоскость \( BCD \), равна \( \frac{43}{21}\) единиц.