Даны вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD.

Определение предмета и раздела предмета

Задание относится к предмету "Геометрия" раздел "Векторная алгебра". Мы будем использовать методы векторной алгебры для нахождения длины высоты пирамиды.

Решение

Для нахождения высоты пирамиды, опущенной из вершины \( A \) на плоскость \( BCD \), нужно:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки \( B \), \( C \) и \( D \).
2. Найти расстояние от точки \( A \) до этой плоскости.

Шаг 1: Уравнение плоскости через точки \( B \), \( C \) и \( D \)

Используем определитель для нахождения уравнения плоскости:

\[ \left| \begin{array}{ccc} x - x_B & y - y_B & z - z_B \\ x_C - x_B & y_C - y_B & z_C - z_B \\ x_D - x_B & y_D - y_B & z_D - z_B \end{array} \right| = 0 \]

Подставляем координаты точек \( B(3, 0, 4) \), \( C(0, 0, 4) \), \( D(5, -1, -3) \):

\[ \left| \begin{array}{ccc} x - 3 & y & z - 4 \\ -3 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -7 \end{array} \right| = 0 \]

Раскроем определитель:

\[ -3 \left| \begin{array}{cc} y & z - 4 \\ -1 & -7 \end{array} \right| = 0 \]

\[ 21y + z - 4 = 0 \]

Итак, уравнение плоскости: \[ x - 21y + z - 4 = 0 \]

Шаг 2: Расстояние от точки \( A(4, 2, -1) \) до плоскости \( x - 21y + z - 4 = 0 \)

Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости:

\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

где \( ax + by + cz + d = 0 \) — уравнение плоскости, а точка имеет координаты \((x_1, y_1, z_1)\). Коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -21 \), \( c = 1 \), \( d = -4 \).

Подставляем координаты точки \( A(4, 2, -1) \):

\[ d = \frac{|4 - 42 - 1 - 4|}{\sqrt{1 + 441 + 1}} \]

\[ d = \frac{|-43|}{\sqrt{443}} \]

\[ d = \frac{43\sqrt{443}}{443} \]

\[ d = \frac{43}{21} \]

Таким образом, длина высоты пирамиды, опущенной из вершины \( A \) на плоскость \( BCD \), равна \( \frac{43}{21} \) единиц.