Даны векторы а(0, 6,-3) в(2, 3,-2) найдите угол между векторами

Условие:

Даны векторы а(0, 6,-3) в(2, 3,-2) найдите угол между векторами

Решение:

### Предмет: Линейная алгебра (раздел: Векторная алгебра) Задание: Найти угол между векторами **a** = (0, 6, -3) и **b** = (2, 3, -2). Для нахождения угла между двумя векторами воспользуемся формулой косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] 1. **Скалярное произведение векторов:** Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) вычисляется по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \] Подставляем координаты наших векторов \(\vec{a} = (0, 6, -3)\) и \(\vec{b} = (2, 3, -2)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) = 0 + 18 + 6 = 24 \] 2. **Длины векторов (модули векторов):** Для нахождения модуля вектора используем формулу: \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \] Находим длину вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Теперь находим длину вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17} \] 3. **Находим косинус угла:** Теперь можно подставить все найденные значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{24}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}} = \frac{24}{3\sqrt{85}} = \frac{8}{\sqrt{85}} \] 4. **Наконец, находим сам угол \(\theta\):** Чтобы найти \(\theta\), применим арккосинус: \[ \theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{85}}\right) \] Ответ можно оставить в таком виде, или, если потребуется приблизительное значение, вычислить его с помощью калькулятора: \[ \theta \approx \arccos(0.867) \approx 29.55^\circ \] ### Ответ: Угол между векторами приблизительно равен 29.55 градусов.