Даны векторы а(0, 6,-3) в(2, 3,-2) найдите угол между векторами

Условие:

Даны векторы а(0, 6,-3) в(2, 3,-2) найдите угол между векторами

Решение:

Предмет: Линейная алгебра (раздел: Векторная алгебра)

Задание: Найти угол между векторами a = (0, 6, -3) и b = (2, 3, -2).

Для нахождения угла между двумя векторами воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\]

1. Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

Подставляем координаты наших векторов \(\vec{a} = (0, 6, -3)\) и \(\vec{b} = (2, 3, -2)\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) = 0 + 18 + 6 = 24\]

2. Длины векторов (модули векторов):

Для нахождения модуля вектора используем формулу:

\[|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\]

Находим длину вектора \(\vec{a}\):

\[|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Теперь находим длину вектора \(\vec{b}\):

\[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}\]

3. Находим косинус угла:

Теперь можно подставить все найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{24}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}} = \frac{8}{\sqrt{85}}\]

4. Наконец, находим сам угол \(\theta\):

Чтобы найти \(\theta\), применим арккосинус:

\[\theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{85}}\right)\]

Ответ можно оставить в таком виде, или, если потребуется приблизительное значение, вычислить его с помощью калькулятора:

\[\theta \approx \arccos(0.867) \approx 29.55^\circ\]

Ответ: Угол между векторами приблизительно равен 29.55 градусов.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн