Даны две матрицы А и В. Найти A1

Данный пример относится к разделу алгебры, к теме работы с матрицами. Требуется найти выражение \( A_1 \). Предполагаю, что под \( A_1 \) имеется в виду обратная матрица для матрицы \( A \). Решим задачу пошагово.

Шаг 1: Убедимся, что матрица \( A \) квадратная

Чтобы найти обратную матрицу, матрица должна быть квадратной. Матрица \( A \) имеет размерность 3×3 (3 строки и 3 столбца), значит, обратная матрица может существовать.

Шаг 2: Найдем определитель матрицы \( A \)

Для того чтобы матрица имела обратную, её определитель не должен равняться нулю. Найдем определитель матрицы \( A \). Матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

Определитель 3×3 матрицы можно рассчитать по формуле через разложение по первой строке:

\[ \text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \]

Теперь найдем определители 2×2 матриц:

1. \(\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-4) \times 1 - 1 \times (-3) = -4 + 3 = -1\)
2. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2) \times 1 - (1) \times 4 = 2 - 4 = -2\)
3. \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 2 \times (-3) - (-4) \times 4 = -6 + 16 = 10\)

Теперь подставим эти результаты:

\[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 10 = -1 + 2 - 10 = -9 \]

Определитель матрицы \( A \) равен \(-9\), что не равно нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Шаг 3: Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Обратная матрица для матрицы \( 3 \times 3 \) вычисляется по формуле через матрицу алгебраических дополнений и определитель:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

Где \( \text{adj}(A) \) — присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений). Вместо полного вычисления матрицы алгебраических дополнений и транспонирования выполню краткий подсчет основных элементов.