Дана матрица. Найти обратную ей. В ответе указать сумму элементов обратной матрицы

Условие:

Дана матрица. Найти обратную ей. В ответе указать сумму элементов обратной матрицы

Решение:

### Предмет: Линейная алгебра ### Раздел: Матрицы, обратные матрицы #### Задано: Матрица \( A \) \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} \] Найти обратную матрицу \( A^{-1} \), а затем найти сумму её элементов. #### Шаг 1: Проверка существования обратной матрицы Обратная матрица существует, если определитель исходной матрицы \( A \) не равен нулю. Формула для определения двумерной матрицы: \[ \det(A) = ad - bc \] где \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] Подставим значения: \[ \det(A) = (-1) \cdot (-7) - (1) \cdot (5) \] \[ \det(A) = 7 - 5 = 2 \] Так как определитель равен 2, обратная матрица существует. #### Шаг 2: Формула для нахождения обратной матрицы Обратная матрица для двумерной матрицы \( A \) рассчитывается по формуле: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Подставим значения: \[ A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix} \] Умножим каждую компоненту матрицы на \( \frac{1}{2} \): \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \] #### Шаг 3: Сумма элементов обратной матрицы Теперь найдём сумму всех элементов матрицы \( A^{-1} \). \[ \text{Сумма элементов} = -\frac{7}{2} + -\frac{1}{2} + -\frac{5}{2} + -\frac{1}{2} \] \[ \text{Сумма элементов} = \frac{-7 -1 -5 -1}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] #### Ответ: Сумма элементов обратной матрицы равна \( -7 \).