Cреди уравнений первого порядка указать уравнения Бернулли

Условие:

Cреди уравнений первого порядка указать уравнения Бернулли:

Решение:

**Предмет: Математика** **Раздел: Дифференциальные уравнения** **Задание: Определение уравнений Бернулли среди уравнений первого порядка** Уравнение Бернулли первого порядка записывается в виде: \[ y' + p(x)y = q(x)y^n \] где \( p(x) \) и \( q(x) \) - функции от \( x \), а \( n \) - вещественное число, отличное от 0 и 1 (поскольку при \( n = 1 \) уравнение становится линейным, а при \( n = 0 \) - уравнением с разделяющимися переменными). Проанализируем каждое уравнение заданий. 1. \( y' - 3xy = x^2 y^3 \) - Приведем к стандартному виду уравнения Бернулли: \[ y' - 3xy = x^2 y^3 \] Здесь \( p(x) = -3x \), \( q(x) = x^2 \), \( n = 3 \). Уравнение соответствует форме уравнения Бернулли. 2. \( y' - 2xy = x^3 \) - Приведем к стандартному виду уравнения Бернулли: \[ y' - 2xy = x^3 \] Здесь отсутствует член с \( y \) в степени отличной от 1; следовательно, это линейное уравнение, а не уравнение Бернулли. 3. \( xy' - y \tg x = xy^2 \) - Приведем к стандартному виду уравнения Бернулли: \[ xy' - y \tg x = xy^2 \] Разделим все уравнение на \( x \): \[ y' - y \frac{\tg x}{x} = y^2 \] Здесь \( p(x) = -\frac{\tg x}{x} \), \( q(x) = 1 \), \( n = 2 \). Уравнение соответствует форме уравнения Бернулли. 4. \( y' + x^2 y = \sin x \) - Здесь отсутствует член с \( y \) в степени отличной от 1; следовательно, это линейное уравнение, а не уравнение Бернулли. 5. \( (x^2 - 2xy)dx + y^2 dy = 0 \) - Преобразуем уравнение к форме с производной \( y \). Сделаем замену: \[ (x^2 - 2xy)dx + y^2 dy = 0 \] \( \Rightarrow \frac{x^2 - 2xy}{y^2} dx + dy = 0 \) \( \Rightarrow dy = -\frac{x^2 - 2xy}{y^2} dx \) \( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 - 2xy}{y^2} \) - Это уравнение не соответствует форме уравнения Бернулли. Таким образом, уравнениями Бернулли являются уравнения под номерами **1** и **3**. **Ответ: 1 3**