Cреди уравнений первого порядка указать линейные

Данное задание относится к математике, а конкретнее к дифференциальным уравнениям.

Необходимо определить линейные уравнения первого порядка среди предложенных вариантов.

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде: \[ a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \] где \(a_1(x)\), \(a_0(x)\) и \(b(x)\) — произвольные функции от \(x\), а \(y\) и его производная \(y'\) входят в уравнение в первой степени и не умножены друг на друга.

Проверим каждое уравнение:

1. \( y' - 2y = x^2 - 3 \) Форма: \( a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \), где \( a_1(x) = 1 \), \( a_0(x) = -2 \), \( b(x) = x^2 - 3 \). Это линейное уравнение.
2. \( (x^3 - 1) y' - 2xy^2 = 0 \) Форма: \( a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \), где \( a_1(x) = x^3 - 1 \), \( a_0(x) = 0 \); однако, есть член \( -2xy^2 \), который делает его нелинейным.
3. \( xy' - 2y = 2x^5 \) Форма: \( a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \), где \( a_1(x) = x \), \( a_0(x) = -2 \), \( b(x) = 2x^5 \). Это линейное уравнение.
4. \( 2y' + x^2 y = \cos x \) Форма: \( a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \), где \( a_1(x) = 2 \), \( a_0(x) = x^2 \), \( b(x) = \cos x \). Это линейное уравнение.
5. \( (x + 1) y' + \left(y^2 + 2\right) = 0\) Форма: \( a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x) \), где предполагается, что \( a_1(x) = x + 1 \), но наличие \( y^2 \) делает уравнение нелинейным.

Итак, среди предложенных уравнений линейными являются уравнения под номерами 1, 3 и 4. В ответ напишем их номера в порядке возрастания: 1 3 4.