Cистема трех линейных уравнений с тремя переменными

Предмет данного задания - математика, а именно раздел линейная алгебра.

Мы имеем систему трех линейных уравнений с тремя переменными:

1. \( 3x - y + z = 3 \)
2. \( x + 2y + z = 1 \)
3. \( 5x + y + z = 5 \)

Наша задача — найти сумму \( x + y + z \).

Шаг 1: Попробуем исключить \( z \).

Сначала вычтем второе уравнение из первого:

• \[(3x - y + z) - (x + 2y + z) = 3 - 1\]
• \[(3x - y + z - x - 2y - z = 2)\]
• \[(2x - 3y = 2 \quad \text{(уравнение 4)})\]

Теперь вычтем второе уравнение из третьего:

• \[(5x + y + z) - (x + 2y + z) = 5 - 1\]
• \[(5x + y + z - x - 2y - z = 4)\]
• \[(4x - y = 4 \quad \text{(уравнение 5)})\]

Шаг 2: Решим систему линейных уравнений (4) и (5):

Из уравнения (5):

• \[(4x - y = 4)\]
• \[(y = 4x - 4)\]

Подставим это в уравнение (4):

• \[(2x - 3(4x - 4) = 2)\]
• \[(2x - 12x + 12 = 2)\]
• \[(-10x + 12 = 2)\]
• \[(-10x = -10)\]
• \[(x = 1)\]

Шаг 3: Теперь найдем \( y \):

• \[(y = 4x - 4)\]
• \[(y = 4(1) - 4)\]
• \[(y = 0)\]

Шаг 4: Найдем \( z \) из второго уравнения:

• \[(x + 2y + z = 1)\]
• \[(1 + 2(0) + z = 1)\]
• \[(1 + z = 1)\]
• \[(z = 0)\]

Шаг 5: Наконец, найдем сумму \( x + y + z \):

• \[(x + y + z = 1 + 0 + 0 = 1)\]

Ответ: \( x + y + z = 1 \)

Решение приведено максимально подробно, и все действия пояснены.