Чему равен главный угловой минор 2-го порядка матрицы квадратичной формы

Задание относится к предмету "Линейная и векторная алгебра", раздел "каноническая форма".

Давайте решим задание: \[ \text{Главный угловой минор 2-го порядка матрицы квадратичной формы } 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 - x_3^2 \text{ равен:} \]

1. Запишем квадратичную форму в виде матрицы. Для этого, исходя из данной квадратичной формы, определяем матрицу, где коэффициенты при \(x_i \cdot x_j\) занимают соответствующие позиции: \[ Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]
2. Далее, определим главный угловой минор 2-го порядка данной матрицы. Главный угловой минор 2-го порядка включает два ведущих элемента (главных элемента диагонали) и все элементы первого и второго строк и столбцов: \[ M_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь нам нужно вычислить определитель этой 2x2 матрицы (\(M_2\)):
3. Определитель матрицы размера 2x2 вычисляется по формуле: \[ \text{det}(M_2) = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1) = 0 - 1 = -1 \] Таким образом, главный угловой минор 2-го порядка равен \( -1 \). Ответ: \( -1 \).