Билинейные формы, которые могут задавать скалярное произведение в трехмерном линейном пространстве

Данное задание из области линейной алгебры и рассматривает билинейные формы, которые могут задавать скалярное произведение в трехмерном линейном пространстве.

Теоретическое обоснование:

Скалярное произведение в векторном пространстве \( \mathbb{R}^3 \) можно задать билинейной симметричной положительно определённой формой \( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \). Это означает, что билинейная форма должна быть:

1. Симметричной, что означает \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(\mathbf{y}, \mathbf{x}) \).
2. Положительно определённой, что означает \( B(\mathbf{x}, \mathbf{x}) > 0 \) для всех ненулевых \(\mathbf{x}\).

Анализ заданных билинейных форм:

Рассмотрим каждую данную форму:

1. \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3 \) - Симметричность: Да, так как \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(\mathbf{y}, \mathbf{x}) \), все соответствующие коэффициенты \( a_{ij} = a_{ji} \). - Положительная определённость: Да, так как можно преобразовать в положительно определённую матрицу.
2. \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 3x_1y_3 + 2x_2y_1 + 3x_2y_3 + 4x_3y_2 \) - Симметричность: Нет, так как коэффиценты не симметричны (\( a_{13} \neq a_{31} \), \( a_{23} \neq a_{32} \)).
3. \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + 4x_3y_3 \) - Симметричность: Да. - Положительная определённость: Нет, так как невозможно гарантировать положительную определённость.
4. \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 3x_1y_3 + 2x_2y_1 + 3x_2y_2 + 3x_2y_3 + 3x_3y_2 + 3x_3y_3 \) - Симметричность: Да. - Положительная определённость: Возможно (нужна дополнительная проверка).
5. \( 2x_1y_1 + 4x_2y_1 + 5x_2y_2 + 3x_2y_3 + 3x_3y_3 \) - Симметричность: Нет (коэффициенты не симметричны).
6. \( x_1y_1 + x_1y_2 + 4x_1y_3 + 3x_2y_1 + 3x_2y_2 + 4x_3y_3 \) - Симметричность: Нет (коэффициенты не симметричны).

Отбор правильных вариантов: Проверяем таблицу:

• Первый выражение: Да (подходит).
• Остальные выражения: Не симметричные или не положительно определённые.

Ответы:

Отмечаем первый вариант. Результат на экране выполняется по следующему алгоритму:

• Отмечаем первый чекбокс напротив выражения \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3 \).
• Нажимаем кнопку "Далее". Так как выбираем все правильные, выбираем только один вариант.

Заключение:

Верный ответ — \( 4x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3 \), так как только это выражение является симметричной и положительно определённой билинейной формой.