Алгебраическое дополнение A33 равно

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и определители

Алгебраическое дополнение элемента матрицы A_{ij} — это минор M_{ij} (определитель матрицы, полученной удалением i-й строки и j-го столбца) с учетом знака (-1)^{i+j}.

Дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 \ 5 & -4 & 3 \ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}. 

Найдем алгебраическое дополнение элемента A_{33}. Это элемент, находящийся в третьей строке и третьем столбце.

Шаг 1: Найдем минор M_{33}

Минор M_{33} — это определитель матрицы, полученной из A удалением третьей строки и третьего столбца:

 M_{33} = \begin{vmatrix} 3 & 6 \ 5 & -4 \end{vmatrix}. 

Определитель матрицы 2 \times 2 вычисляется по формуле:

 \text{det} = ad - bc, 

где a, b, c, d — элементы матрицы.

Для данной матрицы:

 M_{33} = 3 \cdot (-4) - 6 \cdot 5 = -12 - 30 = -42. 

Шаг 2: Учет знака

Знак алгебраического дополнения определяется по формуле (-1)^{i+j}. Для A_{33} (третья строка и третий столбец) i = 3, j = 3. Тогда:

 (-1)^{3+3} = (-1)^6 = 1. 

Шаг 3: Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение A_{33} равно произведению знака и минора:

 \text{Алгебраическое дополнение } A_{33} = 1 \cdot (-42) = -42. 

Ответ:

Алгебраическое дополнение A_{33} равно -42.