Значение второй компоненты равно

Условие:

Значение второй компоненты равно

Решение:

Данное задание относится к области математики, а именно к разделу, связанному с дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений.
Решение задачи:

Нам дана система дифференциальных уравнений: \[ \begin{cases} \dot{x} = y \\ \dot{y} = x \end{cases} \] с начальными условиями \( x(0) = y(0) = 1 \). Необходимо найти значение второй компоненты решения при \( t = 0 \).

Начнем с анализа данных начальных условий: \[ x(0) = 1 \] \[ y(0) = 1 \]
Система дифференциальных уравнений является линейной и имеет следующий вид: \[ \begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases} \]
Рассмотрим дифференцирование первого уравнения: \[ \dot{x} = y \]

Теперь примем во внимание, что \( \dot{y} = x \): \[ y'' = x' = y \]
Здесь у нас получается второе уравнение стандартного линейного дифференциального уравнения второго порядка: \[ y'' = y \]

Общее решение этого уравнения имеет вид: \[ y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} \]
Используем начальные условия, чтобы найти константы \( C_1 \) и \( C_2 \):
При \( t = 0 \): \[ y(0) = C_1 + C_2 = 1 \]
Для \( x(t) \), учитывая, что \( x = \dot{y} \): \[ x(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t} \]
При \( t = 0 \): \[ x(0) = C_1 - C_2 = 1 \]

Теперь имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ C_1 - C_2 = 1 \end{cases} \]
Решая эту систему:
Сложим уравнения: \[ (C_1 + C_2) + (C_1 - C_2) = 1 + 1 \]
\[ 2C_1 = 2 \]
\[ C_1 = 1 \]
Подставим \( C_1 \) в первое уравнение: \[ 1 + C_2 = 1 \]
\[ C_2 = 0 \]

Таким образом, решения для \( y(t) \) и \( x(t) \) будут: \[ y(t) = e^t \] \[ x(t) = e^t \]

При \( t = 0 \), значение второй компоненты, то есть \( y(t) \) равно: \[ y(0) = e^0 = 1 \]

Таким образом, значение второй компоненты решения при \( t = 0 \) равно 1.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн