Записать уравнение этой касательной

Предмет: Математика (дифференциальные уравнения)

Раздел: Дифференциальные уравнения первого порядка

Задание:

К интегральной кривой дифференциального уравнения $\text{(}{y}^{\prime }x+y=3\text{)}$, удовлетворяющей начальным условиям $\text{(}y(1)=2\text{)}$, в точке $\text{(}x=1\text{)}$ проведена касательная. Записать уравнение этой касательной.

Решение:

1. Приведение дифференциального уравнения к стандартному виду: Начнем с уравнения: $\text{[}{y}^{\prime }x+y=3\text{]}$ Для удобства разделим на $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}{y}^{\prime }+\frac{y}{x}=\frac{3}{x}\text{]}$ Это дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Оно записано в виде: $\text{[}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)\text{]}$ где $\text{(}P(x)=\frac{1}{x}\text{)}$ и $\text{(}Q(x)=\frac{3}{x}\text{)}$. 2. Найдем интегрирующий множитель: Интегрирующий множитель (μ) для линейного дифференциального уравнения определяется: $\text{[}\mu (x)=e^{\int P(x)dx}=e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln |x|}=|x|\text{]}$ Но так как мы работаем с $\text{(}x>0\text{)}$, то: $\text{[}\mu (x)=x\text{]}$ 3. Перейдем к уравнению с интегрирующим множителем: Умножим все уравнение на $\text{(}\mu (x)=x\text{)}$: $\text{[}x{y}^{\prime }+y=3\text{]}$ или $\text{[}(xy{)}^{\prime }=3\text{]}$ 4. Интегрируем обе стороны уравнения: $\text{[}\int (xy{)}^{\prime }dx=\int 3dx\text{]}$ Левая сторона уравнения интегрируется элементарно: $\text{[}xy=3x+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная постоянная. 5. Найдем произвольную постоянную $\text{(}C\text{)}$ с учетом начальных условий: Используем начальные условия $\text{(}y(1)=2\text{)}$: $\text{[}1\cdot 2=3\cdot 1+C\text{]}$ $\text{[}2=3+C\text{]}$ $\text{[}C=-1\text{]}$ Теперь у нас есть конкретное решение: $\text{[}xy=3x-1\text{]}$ или $\text{[}y=3-\frac{1}{x}\text{]}$ 6. Найдем производную $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ для построения касательной: $\text{[}{y}^{\prime }=\frac{d}{dx}(3-\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2}\text{]}$ 7. Определим значение производной в точке $\text{(}x=1\text{)}:$ $\text{[}{y}^{\prime }(1)=1\text{]}$ 8. Запишем уравнение касательной в точке $\text{(}x=1\text{)}:$ У нас есть точка $\text{(}(1,2)\text{)}$ и значение $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$ в этой точке (т.е., наклон касательной) равно 1. Уравнение касательной имеем вид: $\text{[}y-y_0=y^{\prime }(x_0)(x-x_0)\text{]}$ где $\text{(}(x_0,y_0)=(1,2)\text{)}:$ $\text{[}y-2=1(x-1)\text{]}$ $\text{[}y-2=x-1\text{]}$ $\text{[}y=x+1\text{]}$ Ответ: Уравнение касательной к интегральной кривой дифференциального уравнения в точке $\text{(}x=1\text{)}$ имеет вид $\text{(}y=x+1\text{)}$.