Условие:
К интегральной кривой дифференциального уравнения y′x+y=3, удовлетворяющей начальным условиям y(1)=2, в точке x=1 проведена касательная. Записать уравнение этой касательной.
Решение:
Предмет: Математика (дифференциальные уравнения)
Раздел: Дифференциальные уравнения первого порядка
Задание:
К интегральной кривой дифференциального уравнения \( y' x + y = 3 \), удовлетворяющей начальным условиям \( y(1) = 2 \), в точке \( x = 1 \) проведена касательная. Записать уравнение этой касательной.
Решение:
1. Приведение дифференциального уравнения к стандартному виду:
Начнем с уравнения:
\[ y'x + y = 3 \]
Для удобства разделим на \( x \):
\[ y' + \frac{y}{x} = \frac{3}{x} \]
Это дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Оно записано в виде:
\[ y' + P(x)y = Q(x) \]
где \( P(x) = \frac{1}{x} \) и \( Q(x) = \frac{3}{x} \).
2. Найдем интегрирующий множитель:
Интегрирующий множитель (μ) для линейного дифференциального уравнения определяется:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} = e^{\ln|x|} = |x| \]
Но так как мы работаем с \( x > 0 \), то:
\[ \mu(x) = x \]
3. Перейдем к уравнению с интегрирующим множителем:
Умножим все уравнение на \( μ(x) = x \):
\[ x y' + y = 3 \]
или
\[ (x y)' = 3 \]
4. Интегрируем обе стороны уравнения:
\[ \int (x y)' \, dx = \int 3 \, dx \]
Левая сторона уравнения интегрируется элементарно:
\[ x y = 3x + C \]
где \( C \) — произвольная постоянная.
5. Найдем произвольную постоянную \( C \) с учетом начальных условий:
Используем начальные условия \( y(1) = 2 \):
\[ 1 \cdot 2 = 3 \cdot 1 + C \]
\[ 2 = 3 + C \]
\[ C = -1 \]
Теперь у нас есть конкретное решение:
\[ x y = 3x - 1 \]
или
\[ y = 3 - \frac{1}{x} \]
6. Найдем производную \( y'(x) \) для построения касательной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 3 - \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^2} \]
7. Определим значение производной в точке \( x = 1 \):
\[ y'(1) = 1 \]
8. Запишем уравнение касательной в точке \( x = 1 \):
У нас есть точка \( (1, 2) \) и значение \( y' \) в этой точке (т.е., наклон касательной) равно 1. Уравнение касательной имеем вид:
\[ y - y_0 = y'(x_0) (x - x_0) \]
где \( (x_0, y_0) = (1, 2) \):
\[ y - 2 = 1 (x - 1) \]
\[ y - 2 = x - 1 \]
\[ y = x + 1 \]
Ответ: Уравнение касательной к интегральной кривой дифференциального уравнения в точке \( x = 1 \) имеет вид \( y = x + 1 \).