Записать общий вид частного решения уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Условие задачи:

Записать общий вид частного решения дифференциального уравнения \( y'' + 2y' + 5y = x + e^{-x}\sin(2x) \).

Решение:

Для нахождения общего вида частного решения этого дифференциального уравнения, сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем ищем частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

Однородное уравнение: \[ y'' + 2y' + 5y = 0 \]

Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения: \[ r^2 + 2r + 5 = 0 \]

Решим характеристическое уравнение, найдём корни: \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \]

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_h(x) = e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \]

2. Найдём частное решение неоднородного уравнения:

Неоднородное уравнение: \[ y'' + 2y' + 5y = x + e^{-x} \sin(2x) \]

Частное решение для правой части вида \(x\): \[ y_p1 = Ax + B \] где \(A\) и \(B\) — постоянные. Подставим \(y_p1, y_p1', y_p1''\) в уравнение и найдём \(A\) и \(B\), затем:

Частное решение для правой части вида \(e^{-x}\sin(2x)\): Заметим, что правые части вида \(e^{-x}\cos(2x)\) и \(e^{-x}\sin(2x)\) совпадают с решением однородного уравнения. Тогда предположим частное решение в виде: \[ y_p2 = e^{-x}(Cx \cos(2x) + Dx \sin(2x)) \] где \(C\) и \(D\) — постоянные. Подставим \(y_p2, y_p2', y_p2''\) в уравнение и найдём \(Cx\) и \(Dx\).

3. Общий вид частного решения:

В результате сложения всех решений получим общий вид частного решения: \[ y_{общ} = y_h + y_p = Ax + B + e^{-x}(Cx \cos(2x) + Dx \sin(2x)) \]

Ответ:

Вариант B верен: \[Ax + B + e^{-x}(Cx\cos(2x) + Dx\sin(2x))\]