Записать общий вид частного решения дифференциального уравнения

Эта задача относится к предмету дифференциальные уравнения, раздел «линейные дифференциальные уравнения второго порядка». Дано дифференциальное уравнение: y'' - 2y' + 2y = e^x (\cos x - \sin 2x)

Чтобы записать общий вид частного решения, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение, соответствующее данной задаче: y'' - 2y' + 2y = 0

Характеристическое уравнение этого уравнения будет: r^2 - 2r + 2 = 0

Решаем квадратное уравнение: r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i

Шаг 2: Общее решение однородного уравнения

Корни характеристического уравнения 1 \pm i указывают на то, что решение будет вида: y_h = e^x (A \cos x + B \sin x)

где A и B — произвольные постоянные.

Шаг 3: Частное решение неоднородного уравнения

Для нахождения частного решения используется метод неопределённых коэффициентов. Правая часть уравнения e^x (\cos x - \sin 2x) имеет экспоненциальный и тригонометрический вид. Предположим, что частное решение уравнения будет следующего вида: y_p = e^x ( C \cos x + D \sin x + E \cos 2x + F \sin 2x )

Шаг 4: Подставляем частное решение в уравнение

Вставляем y_p в дифференциальное уравнение и находим коэффициенты C, D, E, и F. Теперь, используем совокупность общего решения однородного уравнения и частного решения: Общее решение уравнения будет: y = y_h + y_p

y = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x ( C \cos x + D \sin x + E \cos 2x + F \sin 2x )

Это можно записать как: y = e^x ( (A+C) \cos x + (B+D) \sin x + E \cos 2x + F \sin 2x )

Шаг 5: Сравниваем с предложенными вариантами

Соответственно, правильный ответ является вариант c: y = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x ( A\cos x + B\sin x) + e^x ( C\cos 2x + D\sin 2x ). Сравнивая с предложенными вариантами, правильный ответ следующий: \boxed{\text{d. } e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (C \cos 2x + D \sin 2x)}

Таким образом, общий вид частного решения данного дифференциального уравнения будет правильным в виде d.