Задание на интервалы сходимости степенного ряда

Задание относится к предмету "Математика", раздел "Ряды и последовательности", в частности, к теме "Интервалы сходимости степенного ряда".

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{3^n}, \] нужно использовать радиус сходимости. Радиус сходимости \( R \) этого ряда можно найти через формулу для коэффициентов \( a_n = \frac{1}{3^n} \):

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. \]

В нашем случае:

\[ a_n = \frac{1}{3^n}, \]

\[ a_{n+1} = \frac{1}{3^{n+1}}. \]

Тогда:

\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}} \right| = \left| \frac{1}{3^{n+1}} \times 3^n \right| = \left| \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}. \]

Теперь найдём радиус сходимости:

\[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} = \frac{1}{1/3} = 3. \]

Интервал сходимости степенного ряда тогда будет:

\[ |x+1| < 3, \]

то есть:

\[ -3 < x+1 < 3. \]

Решим это неравенство относительно \( x \):

\[ -3 - 1 < x < 3 - 1, \]

\[ -4 < x < 2. \]

Таким образом, интервал сходимости имеет вид \( (-4, 2) \), чему соответствует \( a = -4 \) и \( b = 2 \).

Запрашиваемое значение суммы: \[ a + b = -4 + 2 = -2. \]

Итак, ответ: \(-2\).