Задание на интервалы сходимости степенного ряда

Задание относится к предмету "Математика", раздел "Ряды и последовательности", в частности, к теме "Интервалы сходимости степенного ряда".

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x+1{)}^n}{3^n},\text{]}$ нужно использовать радиус сходимости. Радиус сходимости $\text{(}R\text{)}$ этого ряда можно найти через формулу для коэффициентов $\text{(}{a}_n=\frac{1}{3^n}\text{)}$:

$\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.\text{]}$

В нашем случае:

$\text{[}{a}_n=\frac{1}{3^n},\text{]}$

$\text{[}{a}_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}.\text{]}$

Тогда:

$\text{[}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}\right|=|\frac{1}{3^{n+1}}\times 3^n|=\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}.\text{]}$

Теперь найдём радиус сходимости:

$\text{[}R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{1}{1/3}=3.\text{]}$

Интервал сходимости степенного ряда тогда будет:

$\text{[}|x+1|<3,\text{]}$

то есть:

$\text{[}-3<x+1<3.\text{]}$

Решим это неравенство относительно $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}-3-1<x<3-1,\text{]}$

$\text{[}-4<x<2.\text{]}$

Таким образом, интервал сходимости имеет вид $\text{(}(-4,2)\text{)}$, чему соответствует $\text{(}a=-4\text{)}$ и $\text{(}b=2\text{)}$.

Запрашиваемое значение суммы: $\text{[}a+b=-4+2=-2.\text{]}$

Итак, ответ: $\text{(}-2\text{)}$.