Задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Дано однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

\[ y'' - 2y' + y = -12\cos 2x - 9\sin 2x, \]

с начальными условиями:

\[ y(0) = -2,\quad y'(0) = 0. \]

Шаг 1: Нахождение общего решения однородного уравнения

Рассмотрим однородную часть уравнения:

\[ y'' - 2y' + y = 0. \]

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:

\[ r^2 - 2r + 1 = 0. \]

Это квадратное уравнение можно решить следующим образом:

\[ r^2 - 2r + 1 = (r - 1)^2 = 0, \]

следовательно, \(r = 1\) — корень кратности 2.

Общее решение однородного уравнения будет:

\[ y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^x. \]

Шаг 2: Нахождение частного решения

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

\[ y'' - 2y' + y = -12\cos 2x - 9\sin 2x. \]

Это неоднородное уравнение имеет правую часть в виде комбинации элементов \(\cos 2x\) и \(\sin 2x\), поэтому для частного решения будем искать его в виде:

\[ y_p = A\cos 2x + B\sin 2x. \]

Найдем первую и вторую производные \(y_p\):

\[ y'_p = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x, \]

\[ y''_p = -4A\cos 2x - 4B\sin 2x. \]

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

\[ (-4A\cos 2x - 4B\sin 2x) - 2(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x) + (A\cos 2x + B\sin 2x) = -12\cos 2x - 9\sin 2x. \]

Упрощаем обе стороны уравнения:

\[ -4A\cos 2x - 4B\sin 2x + 4A\sin 2x - 4B\cos 2x + A\cos 2x + B\sin 2x = -12\cos 2x - 9\sin 2x. \]

Объединим подобные члены:

\[ (-4A - 4B + A)\cos 2x + (-4B + 4A + B)\sin 2x = -12\cos 2x - 9\sin 2x. \]

Получаем систему:

\[ -3A - 4B = -12, \quad -3B + 4A = -9. \]

Решаем эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4:

\[ (-9A - 12B = -36) \quad и \quad (-12B + 16A = -36). \]

Теперь вычтем их:

\[ 25A = 0 \quad \Rightarrow \quad A = 0. \]

Подставляем \(A = 0\) в первое уравнение:

\[ -3(0) - 4B = -12 \quad \Rightarrow \quad B = 3. \]

Таким образом, частное решение:

\[ y_p = 3\sin 2x. \]

Шаг 3: Общее решение уравнения

Общее решение исходного уравнения будет:

\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + 3\sin 2x. \]

Шаг 4: Определение произвольных констант из начальных условий

Используем начальные условия \(y(0) = -2\) и \(y'(0) = 0\).

1. Подставляем \(x = 0\) в общее решение:

\[ (C_1 + C_2(0))e^0 + 3\sin(0) = -2, \]

\[ C_1 = -2. \]

2. Теперь найдём первую производную общего решения:

\[ y'(x) = \frac{d}{dx} \left( (C_1 + C_2 x)e^x + 3\sin 2x \right). \]

Вычислим производную:

\[ y'(x) = C_2 e^x + (C_1 + C_2 x)e^x + 6\cos 2x = (C_1 + C_2 + C_2 x)e^x + 6\cos 2x. \]

Подставляем \(x = 0\) и \(y'(0) = 0\):

\[ (C_1 + C_2)e^0 + 6\cos 0 = 0, \]

\[ C_1 + C_2 + 6 = 0. \]

Так как \(C_1 = -2\), получаем:

\[ -2 + C_2 + 6 = 0, \]

\[ C_2 = -4. \]

Ответ

Итак, решение задачи Коши:

\[ y(x) = (-2 - 4x)e^x + 3\sin 2x. \]