Задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

\frac{dy}{dx} - 3x^2y = 2xe^{x^3}, \quad y(3) = 10e^{27}.

Шаг 1. Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение уже представлено в стандартной форме: \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x), где: P(x) = -3x^2, \quad Q(x) = 2xe^{x^3}.

Шаг 2. Поиск общего решения методом вариации постоянной

Для решения используем метод нахождения общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Введем интегрирующий множитель \mu(x), который определяется как: \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}.

В данном случае: P(x) = -3x^2, \quad \int P(x) \, dx = \int -3x^2 \, dx = -x^3.

Следовательно: \mu(x) = e^{-x^3}.

Шаг 3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Умножим обе части уравнения на \mu(x) = e^{-x^3}: e^{-x^3} \frac{dy}{dx} - 3x^2 e^{-x^3} y = 2x e^{x^3} e^{-x^3}.

Упростим правую часть: e^{-x^3} \frac{dy}{dx} - 3x^2 e^{-x^3} y = 2x.

Левая часть уравнения теперь представляет собой производную произведения: \frac{d}{dx} \left( y e^{-x^3} \right) = 2x.

Шаг 4. Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения: \int \frac{d}{dx} \left( y e^{-x^3} \right) dx = \int 2x \, dx.

Получаем: y e^{-x^3} = x^2 + C, где C — произвольная постоянная.

Шаг 5. Выражение общего решения

Умножим на e^{x^3}, чтобы выразить y: y = e^{x^3} (x^2 + C).

Шаг 6. Использование начального условия

По условию задачи y(3) = 10e^{27}. Подставим x = 3 и y = 10e^{27} в общее решение: 10e^{27} = e^{27} (3^2 + C).

Упростим: 10e^{27} = e^{27} (9 + C).

Разделим обе части на e^{27}: 10 = 9 + C.

Следовательно: C = 1.

Шаг 7. Частное решение

Подставим значение C = 1 в общее решение: y = e^{x^3} (x^2 + 1).

Ответ:

Решение задачи Коши: y = e^{x^3} (x^2 + 1).