Задача требует решения второго порядка дифференциального уравнения с краевыми условиями при помощи **метода конечных разностей**, и написания программы для решения в языке Python

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Краевые задачи".

Задача требует решения второго порядка дифференциального уравнения с краевыми условиями при помощи метода конечных разностей, и написания программы для решения в языке Python.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду.

Дифференциальное уравнение можно записать в виде: \[ y'' - (1 + 4x)y' + (1 + x)y = x - 1 \]

С краевыми условиями: \[ y(-1) + 6y'(-1) = 1, \quad y(5) = 10 \]

Шаг 2: Метод конечных разностей

Метод конечных разностей заключается в том, что вторые и первые производные приближаются численно при помощи разностных схем. Разбиение интервала от \(-1\) до \(5\) на равные шаги \(h = 2\) поможет применить разностную схему к краевой задаче.

Схема для приближенного вычисления производных:

• Первая производная \(y'(x)\) приближается как: \[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h} \]
• Вторая производная \(y''(x)\) приближается как: \[ y''(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} \]

Устройства сетки:

Мы разбиваем отрезок от \(x = -1\) до \(x = 5\) на несколько точек по шагам \(h = 2\): \[ x_0 = -1, \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 5 \]

Шаг 3: Построение разностной схемы.

Разностная схема для второго порядка должна заменить производные числовыми выражениями. Подставляем приближенные выражения для производных в дифференциальное уравнение: \[ \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} - \left(1 + 4x_i\right) \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h} + (1 + x_i)y_i = x_i - 1 \]

Для каждого внутреннего узла (точек на сетке) составляем уравнения. На граничных узлах \(x = -1\) и \(x = 5\) применяем условия:

1. \(y(-1) + 6y'(-1) = 1\) – выражаем производную конечными разностями.
2. \(y(5) = 10\).

Шаг 4: Код на Python

Теперь напишем код на Python для решения этой системы:

import numpy as np
import scipy.linalg

# Задаем параметры задачи
h = 2 # шаг сетки
x_values = np.array([-1, 1, 3, 5]) # точки сетки
N = len(x_values)
a = 1 # коэффициент при y
b = lambda x: 1 + 4 * x # коэффициент при y'
c = lambda x: 1 + x # коэффициент при y
f = lambda x: x - 1 # правая часть

# Матрица и вектор правой части системы
A = np.zeros((N, N))
B = np.zeros(N)

# Условия на краях
A[0, 0] = 1 + 6/h
A[0, 1] = -6/h
B[0] = 1
A[-1, -1] = 1
B[-1] = 10

# Заполнение центральных узлов разностной сетки
for i in range(1, N - 1):
    A[i, i-1] = 1/h**2 - b(x_values[i])/(2*h)
    A[i, i] = -2/h**2 + c(x_values[i])
    A[i, i+1] = 1/h**2 + b(x_values[i])/(2*h)
    B[i] = f(x_values[i])

# Решение системы линейных уравнений
y = scipy.linalg.solve(A, B)

# Вывод решений
for i, x in enumerate(x_values):
    print(f'y({x}) = {y[i]:.4f}')

Шаг 5: Объяснение кода

1. Мы задаем шаг \(h\), сетку \( x_i \) и коэффициенты \(a\), \(b(x)\), \(c(x)\), и правую часть \(f(x) = x - 1\).
2. Матрица \(A\) определяет дискретизацию нашего дифференциального уравнения, а вектор \(B\) содержит правую часть уравнений и условия на границах.
3. Затем строим систему линейных уравнений для всех узлов нашей сетки \(x_i\). После этого решаем систему при помощи функции `scipy.linalg.solve`.
4. После вычислений выводим значения \( y(x_i) \), которые являются решением задачи в дискретных точках сетки.

Шаг 6: Вывод

Метод конечных разностей является подходящим для решения данной задачи. Мы заменили производные приближенными выражениями и реализовали решение системы уравнений в Python.