Задача на решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями

Задание относится к разделу дифференциальных уравнений, а именно к задаче Коши. Это классическая задача на решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Твое задание, согласно таблице — это вариант 2.9: \[ y' = yx, \quad y(0) = 2 \]

Шаг 1: Представление уравнения

Уравнение \[ y' = yx \] представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем его переписать в форме относительного изменения, разделив переменные: \[ \frac{dy}{dx} = yx \]

Шаг 2: Разделение переменных

Переносим все \( y \) на одну сторону, а \( x \) на другую:

\[ \frac{dy}{y} = x dx \]

Таким образом мы разделили переменные — переменные \( y \) и \( x \) находятся каждая на своей стороне уравнения.

Шаг 3: Интегрирование

Интегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int x dx \]

Левая часть — это стандартный интеграл логарифмической функции:

\[ \ln |y| = \frac{x^2}{2} + C \]

где \( C \) — это константа интегрирования.

Шаг 4: Решение относительно \( y \)

Теперь решаем относительно \( y \). Для этого возводим обе стороны в экспоненту:

\[ |y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^C \]

Пусть \( A = e^C \), тогда

\[ y = A e^{\frac{x^2}{2}} \]

Шаг 5: Использование начального условия

Нам дано начальное условие \( y(0) = 2 \), то есть при \( x = 0 \), \( y = 2 \). Подставляем это условие в уравнение для нахождения константы \( A \):

\[ 2 = A e^{\frac{0^2}{2}} = A e^0 = A \]

Следовательно, \( A = 2 \).

Шаг 6: Окончательное решение

Таким образом, общее решение уравнения принимает вид:

Ответ:

Общее решение задачи Коши для уравнения \( y' = yx \) с начальным условием \( y(0) = 2 \) — это: