Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение теплопроводности, краевые задачи, теоремы существования и единственности решений)

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности. Это классическая задача в математической физике, связанная с описанием распределения температуры в теле при наличии внутренних источников тепла.

1. Неоднородное уравнение теплопроводности

Общий вид уравнения теплопроводности в одномерном случае:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t) 

где:

• u(x, t) — температура в точке x в момент времени t,
• a^2 — коэффициент теплопроводности,
• f(x, t) — функция, описывающая внутренний источник тепла (неоднородность).

2. Задача Коши

Для постановки задачи Коши необходимо задать начальное условие:

 u(x, 0) = \varphi(x), \quad x \in \mathbb{R} 

и, как правило, решение ищется на всей числовой прямой или на ограниченном интервале с граничными условиями.

3. Формула Пуассона для решения задачи Коши

Для случая бесконечной прямой (то есть x \in \mathbb{R}) и при f(x, t) = 0 (однородное уравнение), решение можно выразить через формулу Пуассона:

 u(x, t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi) \exp\left(-\frac{(x - \xi)^2}{4a^2 t}\right) d\xi 

Это решение получено с использованием фундаментального решения (или ядра Пуассона) для уравнения теплопроводности.

4. Решение неоднородного уравнения

Если f(x, t) \ne 0, то решение можно записать как сумму двух слагаемых:

 u(x, t) = u_1(x, t) + u_2(x, t) 

где:

• u_1(x, t) — решение однородного уравнения с начальным условием \varphi(x) (как выше),
• u_2(x, t) — частное решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием.

Для u_2(x, t) можно использовать интеграл Дюамеля:

 u_2(x, t) = \int_0^t \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2a\sqrt{\pi(t - \tau)}} f(\xi, \tau) \exp\left(-\frac{(x - \xi)^2}{4a^2(t - \tau)}\right) d\xi d\tau 

5. Теорема о существовании и единственности классического решения

Теорема:
Пусть:

• \varphi(x) — непрерывная и ограниченная функция,
• f(x, t) — непрерывная и ограниченная на \mathbb{R} \times [0, T],
• f и \varphi имеют непрерывные производные до второго порядка по x и первому по t.

Тогда задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности на всей прямой имеет единственное классическое решение u(x, t), которое непрерывно и имеет непрерывные производные, удовлетворяющие уравнению и начальному условию.

Итог

• Уравнение теплопроводности описывает эволюцию температуры.
• Задача Коши требует начального условия.
• Формула Пуассона даёт решение для однородного уравнения.
• Для неоднородного уравнения используется метод интеграла Дюамеля.
• Существование и единственность решения гарантируется при определённых условиях на \varphi и f.

Если нужно решить конкретную задачу с заданными \varphi(x) и f(x, t), пожалуйста, предоставьте их.