Задача гурса

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения с частными производными (Задача Гурса)

Дана задача Гурса для уравнения в частных производных:

 U_{xy} - e^x U_{yy} = 0, \quad y > e^{-x}, \quad x > 0 

С граничными условиями:

 U(x=0, y) = y^2, \quad U(y=-e^x, x) = 1 + x^2 

Решение такой задачи требует применения метода характеристик. Давай разберем его пошагово:

1. Определение характеристических уравнений

Запишем уравнение в канонической форме:

 U_{xy} = e^x U_{yy} 

Для уравнения вида  U_{xy} = a(x,y) U_{yy}  характеристические кривые удовлетворяют дифференциальному уравнению:

 \frac{dy}{dx} = a(x,y) = e^x 

Решая это уравнение, получаем:

 dy = e^x dx 

Интегрируем:

 y = e^x + C 

Таким образом, характеристические кривые имеют вид:

 y - e^x = C 

2. Переход к характеристическим переменным

Введем новые переменные:

 \xi = x, \quad \eta = y - e^x 

Тогда производные преобразуются:

 \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi} - e^x \frac{\partial}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial \eta} 

Подставляя в исходное уравнение:

 \left( \frac{\partial}{\partial \xi} - e^x \frac{\partial}{\partial \eta} \right) U_{\eta} = e^x U_{\eta \eta} 

Приводим к виду:

 U_{\xi \eta} - e^x U_{\eta \eta} = e^x U_{\eta \eta} 

Сокращая, получаем:

 U_{\xi \eta} = 0 

Это означает, что  U_{\eta}  не зависит от  \xi , то есть:

 U_{\eta} = f(\eta) 

Интегрируя по  \eta :

 U(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta) 

3. Определение функций F и G

Подставляем граничные условия и находим конкретное решение. Этот шаг требует подстановки и решения системы уравнений.

Таким образом, решение задачи Гурса сводится к нахождению функций  F(\xi)  и  G(\eta)  с учетом граничных условий.