Является ли данная функция решением для данного дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Нам дана функция:

y = \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2

и дифференциальное уравнение:

y' - \left(\frac{2}{x+1}\right)y = (x+1)^3

Нужно проверить, является ли данная функция решением этого уравнения.

Шаг 1: Найдём производную функции ( y )

Функция:

y = \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2

Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и степенной функции:

 \begin{aligned} y' &= \frac{d}{dx} \left( \frac{(x+1)^4}{2} \right) + \frac{d}{dx} \left( (x+1)^2 \right) \ &= \frac{1}{2} \cdot 4(x+1)^3 + 2(x+1) \ &= 2(x+1)^3 + 2(x+1) \end{aligned} 

Шаг 2: Подставим ( y ) и ( y' ) в левую часть уравнения

Уравнение:

y' - \left( \frac{2}{x+1} \right) y

Подставим:

• y' = 2(x+1)^3 + 2(x+1)
• y = \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2

Вычислим:

 \begin{aligned} y' - \left( \frac{2}{x+1} \right) y &= \left[2(x+1)^3 + 2(x+1)\right] - \left( \frac{2}{x+1} \right) \left[ \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2 \right] \ &= 2(x+1)^3 + 2(x+1) - \left[ \frac{2}{x+1} \cdot \left( \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2 \right) \right] \end{aligned} 

Упростим второе слагаемое:

 \begin{aligned} \frac{2}{x+1} \cdot \left( \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2 \right) &= \frac{2}{x+1} \cdot \left( \frac{(x+1)^4}{2} \right) + \frac{2}{x+1} \cdot (x+1)^2 \ &= (x+1)^3 + 2(x+1) \end{aligned} 

Теперь подставим всё обратно:

 \begin{aligned} y' - \left( \frac{2}{x+1} \right) y &= \left[2(x+1)^3 + 2(x+1)\right] - \left[(x+1)^3 + 2(x+1)\right] \ &= (x+1)^3 \end{aligned} 

Шаг 3: Сравним с правой частью уравнения

Правая часть уравнения: (x+1)^3

Левая часть тоже равна (x+1)^3, следовательно:

Ответ:

Да, функция y = \frac{(x+1)^4}{2} + (x+1)^2 является решением дифференциального уравнения
y' - \left( \frac{2}{x+1} \right) y = (x+1)^3.