Вычислить приближённое значение

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, тема "Производные"

Будем решать задание №3: Вычислить приближённое значение $\text{(}\sqrt{29}\text{)}$.

Решение:

1. Рассмотрим задачу приближённо. Для быстрого вычисления квадратного корня используем метод разложения Тейлора или итеративный метод, но сначала заметим, что число $\text{(}29\text{)}$ лежит между $\text{(}25=5^2\text{)}$ и $\text{(}36=6^2\text{)}$, следовательно:

   $\text{[}5<\sqrt{29}<6\text{]}$

2. Подход разложения Тейлора: Запишем $\text{(}\sqrt{29}\text{)}$ как $\text{(}\sqrt{a+b}\text{)}$, где $\text{(}a=25\text{)}$ и $\text{(}b=4\text{)}$. Формула для приближённого корня:

   $\text{[}\sqrt{a+b}\approx \sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}\text{]}$

   Подставляем $\text{(}a=25\text{)}$, $\text{(}b=4\text{)}$, и $\text{(}\sqrt{a}=5\text{)}$:

   $\text{[}\sqrt{29}\approx 5+\frac{4}{2\cdot 5}\text{]}$

   $\text{[}\sqrt{29}\approx 5+\frac{4}{10}=5+0.4=5.4\text{]}$

Точность:

Для повышения точности можно использовать итерацию, но первое приближение даёт:

$\text{[}\sqrt{29}\approx 5.4\text{]}$

Ответ: $\text{(}\sqrt{29}\approx 5.4\text{)}$.