Вычислить приближённое значение

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, тема "Производные"

Будем решать задание №3: Вычислить приближённое значение \( \sqrt{29} \).

Решение:

1. Рассмотрим задачу приближённо. Для быстрого вычисления квадратного корня используем метод разложения Тейлора или итеративный метод, но сначала заметим, что число \( 29 \) лежит между \( 25 = 5^2 \) и \( 36 = 6^2 \), следовательно:

   \[ 5 < \sqrt{29} < 6 \]

2. Подход разложения Тейлора: Запишем \( \sqrt{29} \) как \( \sqrt{a + b} \), где \( a = 25 \) и \( b = 4 \). Формула для приближённого корня:

   \[ \sqrt{a + b} \approx \sqrt{a} + \frac{b}{2\sqrt{a}} \]

   Подставляем \( a = 25 \), \( b = 4 \), и \( \sqrt{a} = 5 \):

   \[ \sqrt{29} \approx 5 + \frac{4}{2 \cdot 5} \]

   \[ \sqrt{29} \approx 5 + \frac{4}{10} = 5 + 0.4 = 5.4 \]

Точность:

Для повышения точности можно использовать итерацию, но первое приближение даёт:

\[ \sqrt{29} \approx 5.4 \]

Ответ: \( \sqrt{29} \approx 5.4 \).