Условие:
Вычислите приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных In (0,09^3 + 0,99^3)
Решение:
Данное задание относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Математический анализ".
В задании необходимо использовать метод приближенных вычислений с помощью полного дифференциала для функции двух переменных. Давайте разберем это задание подробно.
- Определение функции двух переменных: Мы заданяем функцию: \[ f(x, y) = \ln(x^3 + y^3) \] Нам нужно вычислить значение этой функции при \( x = 0.09 \) и \( y = 0.99 \) приблизительно с помощью полного дифференциала.
- Выбор точки разложения: Обычно для упрощения вычислений выбирают точку разложения, где функция и её частные производные можно легко определить. Очевидный выбор здесь — точка \( (x_0, y_0) = (0.1, 1) \), поскольку \( 0.09 \) близко к \( 0.1 \) и \( 0.99 \) близко к \( 1 \).
- Определение частных производных функции: Первые частные производные функции \( f(x, y) = \ln(x^3 + y^3) \) — это: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^2}{x^3 + y^3} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^2}{x^3 + y^3} \]
- Вычисление значений функции и её производных в точке разложения \( (0.1, 1) \): Значение функции: \[ f(0.1, 1) = \ln(0.1^3 + 1^3) = \ln(0.001 + 1) = \ln(1.001) \] Для упрощения, можно использовать приближение \( \ln(1.001) \approx 0.001 \), поскольку \( \ln(1 + \epsilon) \approx \epsilon \) для малых \( \epsilon \). Частные производные: \[ \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0.1, 1)} = \frac{3 \cdot (0.1)^2}{(0.1)^3 + 1^3} = \frac{3 \cdot 0.01}{0.001 + 1} \approx 0.03 \] \[ \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0.1, 1)} = \frac{3 \cdot 1^2}{(0.1)^3 + 1^3} = \frac{3 \cdot 1}{0.001 + 1} \approx 3 \]
- Приближенное значение функции в точке (0.09, 0.99) с помощью полного дифференциала: Полный дифференциал функции: \[ df \approx \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0.1, 1)} \cdot (x - 0.1) + \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0.1, 1)} \cdot (y - 1) \] Подставляем значения: \[ df \approx 0.03 \cdot (0.09 - 0.1) + 3 \cdot (0.99 - 1) \] \[ df \approx 0.03 \cdot (-0.01) + 3 \cdot (-0.01) \] \[ df \approx -0.0003 - 0.03 \] \[ df \approx -0.0303 \] Итоговое значение функции приближенно: \[ f(0.09, 0.99) \approx f(0.1, 1) + df \approx 0.001 - 0.0303 = -0.0293 \] Итак, приближенное значение функции \( \ln(0.09^3 + 0.99^3) \) равно примерно \( -0.0293 \).