Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, определённые интегралы, площадь под кривой

Задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

• y = \cos x
• y = 0 (ось абсцисс)
• x = -\frac{\pi}{2}
• x = \frac{\pi}{2}

(в условии, вероятно, опечатка — граница x = -\frac{\pi}{2} указана дважды; логично предположить, что вторая граница — x = \frac{\pi}{2})

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = \cos x, осью абсцисс и вертикальными прямыми x = -\frac{\pi}{2} и x = \frac{\pi}{2}, вычисляется как определённый интеграл:

 S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx 

Вычислим интеграл:

 \int \cos x \, dx = \sin x 

Подставим пределы интегрирования:

 S = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - (-1) = 2 

Ответ:

S = 2

Площадь фигуры равна 2.