Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — определённые интегралы, площадь между кривыми.

Задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x^2 - 8x + 18
y = -2x + 18

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Чтобы найти границы интегрирования, приравниваем правые части уравнений:

x^2 - 8x + 18 = -2x + 18

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 8x + 18 + 2x - 18 = 0
x^2 - 6x = 0
x(x - 6) = 0

Решения:
x = 0 и x = 6

Это точки пересечения графиков. Значит, площадь фигуры будет вычисляться на отрезке [0; 6].

Шаг 2: Определим, какая функция выше на этом интервале

Проверим, какая из функций выше на промежутке [0; 6]. Возьмём, например, точку x = 1:

• y_1 = x^2 - 8x + 18 = 1 - 8 + 18 = 11
• y_2 = -2x + 18 = -2 + 18 = 16

Значит, на отрезке [0; 6] прямая y = -2x + 18 лежит выше параболы y = x^2 - 8x + 18.

Шаг 3: Запишем формулу площади

Площадь между двумя кривыми на отрезке [a; b] вычисляется по формуле:

 S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx 

где f(x) — верхняя функция, g(x) — нижняя.

В нашем случае:

 S = \int_0^6 [(-2x + 18) - (x^2 - 8x + 18)] \, dx 

Упростим подынтегральное выражение:

 -2x + 18 - x^2 + 8x - 18 = -x^2 + 6x 

Шаг 4: Вычислим определённый интеграл

 S = \int_0^6 (-x^2 + 6x) \, dx 

Вычислим первообразную:

 \int (-x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 + C 

Подставим пределы интегрирования:

 S = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_0^6 

Подставим x = 6:

 -\frac{6^3}{3} + 3 \cdot 6^2 = -\frac{216}{3} + 3 \cdot 36 = -72 + 108 = 36 

Подставим x = 0:

 -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0 

Ответ:

S = 36

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 36.