Вычислить площадь фигуры, ограниченной интегральной кривой дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение:

У нас есть дифференциальное уравнение: \( y' = \frac{3}{4 \sqrt{x}} \)

Нужно найти интегральную кривую, проходящую через точку (1; 1.5).

Начнем с нахождения общего решения этого дифференциального уравнения.

Нахождение общего решения:

Поскольку \( y' = \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4 \sqrt{x}} \), перепишем его в виде: \(\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4 \sqrt{x}}\)

Перепишем это уравнение в разделяющейся форме: \(dy = \frac{3}{4 \sqrt{x}} \, dx\)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: \(\int dy = \int \frac{3}{4 \sqrt{x}} \, dx\)

Правая часть интеграла упрощается интегрированием функции \(x\) в показательной форме: \(\int \frac{3}{4 \sqrt{x}} \, dx = \int \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx\)

Интегрируем \( x^{-\frac{1}{2}} \): \( \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \sqrt{x} \)

Следовательно: \( \int \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{x} = \frac{3}{2} \sqrt{x} \)

Таким образом, у нас получается: \( y = \frac{3}{2} \sqrt{x} + C \), где \(C\) – постоянная интегрирования.

Нахождение \(C\):

У нас есть точка (1; 1.5), через которую проходит наша интегральная кривая.

Подставим это в уравнение для нахождения \(C\):

\[ 1.5 = \frac{3}{2} \sqrt{1} + C \]

\[ 1.5 = \frac{3}{2} + C \]

\[ C = 1.5 - 1.5 = 0 \]

Таким образом, уравнение интегральной кривой: \( y = \frac{3}{2} \sqrt{x} \)

Теперь найдем точку пересечения кривой \( y = \frac{3}{2} \sqrt{x} \) с прямой \( y = \frac{3}{4} x \):

Приравняем уравнения: \( \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{3}{4} x \)

Упростим, разделив обе части на \( \frac{3}{2} \): \( \sqrt{x} = \frac{1}{2} x \)

Умножим обе части на 2: \( 2 \sqrt{x} = x \)

Возведем обе части в квадрат: \( 4x = x^2 \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \)

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Поскольку \( x = 0 \) нас не интересует, возьмем \( x = 4 \).

Подставим значение \( x = 4 \) в уравнение прямой: \( y = \frac{3}{4} \times 4 = 3 \)

То есть точка пересечения — это \( (4, 3) \).

Теперь вычислим площадь под кривой \( y = \frac{3}{2} \sqrt{x} \) от \( x = 1 \) до \( x = 4 \):

Площадь под этой кривой: \( \int_{1}^{4} \frac{3}{2} \sqrt{x} \, dx \)

Мы уже знаем, что: \( \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \)

Следовательно: \( \int \frac{3}{2} \sqrt{x} \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = x^{3/2} \)

Вычисляем определенный интеграл: \( \left[ x^{3/2} \right]_{1}^{4} = 4^{3/2} - 1^{3/2} = 8 - 1 = 7 \)

Теперь вычислим площадь под прямой \( y = \frac{3}{4} x \) от \( x = 1 \) до \( x = 4 \):

Площадь под этой прямой: \( \int_{1}^{4} \frac{3}{4} x \, dx \)

Мы знаем, что: \( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \)

Следовательно: \( \int \frac{3}{4} x \, dx = \frac{3/4} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{8} x^2 \)

Вычисляем определенный интеграл: \( \left[ \frac{3}{8} x^2 \right]_{1}^{4} = \frac{3}{8} (4^2) - \frac{3}{8} (1^2) = \frac{3}{8} \cdot 16 - \frac{3}{8} \cdot 1 = 6 - \frac{3}{8} = \frac{45}{8} \)

Разность площадей:

Площадь между кривыми: \( \left( \int_{1}^{4} \frac{3}{2} \sqrt{x} \, dx \right) - \left( \int_{1}^{4} \frac{3}{4} x \, dx \right) = 7 - \frac{45}{8} \)

Приведем к общему знаменателю: \( 7 = \frac{56}{8} \)

Таким образом: \( \frac{56}{8} - \frac{45}{8} = \frac{11}{8} \)

Итак, площадь фигуры, ограниченной интегральной кривой дифференциального уравнения \( y' = \frac{3}{4 \sqrt{x}} \), проходящей через точку (1; 1.5) и линией \( y = \frac{3}{4} x \), равна \( \frac{11}{8} \) квадратных единиц.