Вычислить определенный интеграл

Задача 10 требует вычислить определенный интеграл:

\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi (8x + 1) \sin(x) \, dx \]

Решим этот интеграл пошагово:

1. Разложение интеграла: Интеграл от суммы функции равен сумме интегралов: \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi (8x + 1) \sin(x) \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi 8x \sin(x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sin(x) \, dx \]
2. Расчет интегралов по частям: Рассмотрим каждый из интегралов отдельно.
   • Первый интеграл: \[ \int 8x \sin(x) \, dx \] Используем метод интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Пусть \( u = 8x \), тогда \( du = 8 \, dx \). Пусть \( dv = \sin(x) \, dx \), тогда \( v = -\cos(x) \). Подставляем: \[ \int 8x \sin(x) \, dx = 8x(-\cos(x)) - \int -\cos(x) \cdot 8 \, dx \] \[ = -8x\cos(x) + 8 \int \cos(x) \, dx \] \[ = -8x\cos(x) + 8 \sin(x) \] Возвращаемся к пределам интегрирования: \[ \left[ -8x\cos(x) + 8\sin(x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^\pi \] Вычисляем значения на границах: \[ = \left( -8\pi\cos(\pi) + 8\sin(\pi) \right) - \left( -8\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 8\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \] \[ = \left( -8\pi(-1) + 8(0) \right) - \left( -4\pi(0) + 8(1) \right) \] \[ = 8\pi - 8 \]
   • Второй интеграл: \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sin(x) \, dx \] Здесь просто берем первообразную: \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \] Применяем пределы интегрирования: \[ \left[ -\cos(x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^\pi \] \[ = -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \] \[ = -(-1) + 0 \] \[ = 1 \]
3. Суммируем результаты: \[ 8\pi - 8 + 1 = 8\pi - 7 \] Таким образом, значение интеграла: \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi (8x + 1) \sin(x) \, dx = 8\pi - 7 \]