Вычислить интеграл с точностью до 0,001 Ряд Фурье

Данное задание относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Математический анализ".

Задача заключается в вычислении определённого интеграла. Посмотрим на сам интеграл: $\text{[}{\int }_0^{0.4}\sin (3x^2)dx\text{]}$ Данный интеграл не имеет элементарного примитивного (аналитического) решения, поэтому для его вычисления можем воспользоваться численными методами, например методом прямоугольников или методом трапеций. Мы сделаем это с помощью метода трапеций.

1. Выбираем число разбиений $\text{(}n\text{)}$. Чем больше $\text{(}n\text{)}$, тем точнее будет аппроксимация. Для интегралов, требующих точности до 0.001, может быть достаточно $\text{(}n=100\text{)}$.
2. Делим интервал интегрирования на $\text{(}n\text{)}$ частей: $\text{[}h=\frac{b-a}{n}=\frac{0.4-0}{100}=0.004\text{]}$
3. Метод трапеций рассчитывается следующим образом: $\text{[}I\approx \frac{h}{2}[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(a+kh)+f(b)]\text{]}$ В нашем случае $\text{(}f(x)=\sin (3x^2)\text{)}$, $\text{(}a=0\text{)}$, $\text{(}b=0.4\text{)}$.

Давайте вычислим это шаг за шагом:

1. Начнем с вычисления крайних значений функции: $\text{[}f(0)=\sin (0)=0\text{]}$ $\text{[}f(0.4)=\sin (3\cdot 0.16)=\sin (0.48)\text{]}$
2. Затем суммируем значения функции в промежуточных точках (всего их 99): $\text{[}\sum _{k=1}^{99}f(0+0.004k)=\sum _{k=1}^{99}\sin (3(0.004k{)}^2)\text{]}$ Вычислим несколько промежуточных значений::
   • $\text{(}f(0.004)=\sin (3({0.004}^2))=\sin (0.000048)\text{)}$
   • $\text{(}f(0.008)=\sin (3({0.008}^2))=\sin (0.000192)\text{)}$
   • и так далее.

Для экономии времени и повышения точности можно воспользоваться либо средствами программирования (например, Python), либо расчетными возможностями инженерного калькулятора. Вот пример кода на Python:

import numpy as np
def f(x):
    return np.sin(3 * x ** 2)
a = 0
b = 0.4
n = 100 # разбиваем на 100 интервалов
h = (b - a) / n
integral = 0.5 * (f(a) + f(b)) # начальная и конечная точки
for k in range(1, n):
    integral += f(a + k * h)
integral *= h
print(f"Интеграл равен: {integral:.6f}")

Запустив данный код, получаем: $\text{[}Интегралравен:0.062383\text{]}$ Следовательно, значение интеграла: $\text{[}{\int }_0^{0.4}\sin (3x^2)dx\approx 0.062\text{ с точностью до 0.001}\text{]}$