Вычислить двойной интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление нескольких переменных

Задача: Вычислить двойной интеграл \(\iint_D x \, dx \, dy\), где область интегрирования \( D \) задана уравнениями: \[ \begin{cases} y = x^2 + x + 3,\\ y = -5 - 5x. \end{cases} \]

Решение:

1. Определение границ интегрирования: Сначала найдем точки пересечения кривых \(y = x^2 + x + 3\) и \(y = -5 - 5x\). Для этого приравняем правые части уравнений: \[ x^2 + x + 3 = -5 - 5x. \] Решим это квадратное уравнение: \[ x^2 + 6x + 8 = 0. \] Разложим на множители: \[ (x+4)(x+2) = 0. \] Значит, точки пересечения \(x = -4\) и \(x = -2\).
2. Определение областей интегрирования: Теперь \(x\) изменяется от \(-4\) до \(-2\). При этом \(y\) изменяется от \(y = -5 - 5x\) до \(y = x^2 + x + 3\).
3. Запись интеграла: Преобразуем двойной интеграл в определённые пределы: \[ \iint_D x \, dx \, dy = \int_{-4}^{-2} \int_{-5-5x}^{x^2 + x + 3} x \, dy \, dx. \]
4. Вычисление внутризонного интеграла: Сначала интегрируем по \(y\): \[ \int_{-5-5x}^{x^2 + x + 3} x \, dy = x \left[ y \right]_{-5-5x}^{x^2 + x + 3} = x \left( (x^2 + x + 3) - (-5 - 5x) \right) = x \left( x^2 + x + 3 + 5 + 5x \right) = x \left( x^2 + 6x + 8 \right). \]
5. Вычисление внешнего интеграла: Теперь интегрируем по \(x\): \[ \int_{-4}^{-2} x (x^2 + 6x + 8) \, dx. \] Разложим полином: \[ \int_{-4}^{-2} (x^3 + 6x^2 + 8x) \, dx. \] Интегрируем каждый член полинома: \[ \left[ \frac{x^4}{4} + 2x^3 + 4x^2 \right]_{-4}^{-2}. \]
6. Подстановка конечных и начальных значений: \[ \left( \frac{(-2)^4}{4} + 2(-2)^3 + 4(-2)^2 \right) - \left( \frac{(-4)^4}{4} + 2(-4)^3 + 4(-4)^2 \right). \] Вычислим значения: \[ = \left( 4 - 16 + 16 \right) - \left( 64 - 128 + 64 \right). \] \[ = 4 - (64) = 4 - 64 = -60. \]

Ответ: Значение двойного интеграла \(\iint_D x \, dx \, dy\) составляет \(-60\).