Волновое уравнение двумерного пространства

Этот вопрос относится к математике, в частности к разделу дифференциальных уравнений с частными производными. Рассмотрим данное уравнение. Уравнение является волновым уравнением двумерного пространства вида:

(∂²u/∂t²) - 4((∂²u/∂x²) + (∂²u/∂y²)) = 0.

Граничные условия:

Определены как:

1. u(0, y, t) = u(π, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0 для 0 < x < π и 0 < y < π.
2. Начальное условие: u(x, y, 0) = 2 sin(3x) sin(4y).

Метод решения:

Метод разделения переменных является подходящим для решения такого рода уравнений. Мы предполагаем, что решение можно представить в виде произведения:

u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t),

что позволяет разделить уравнение на более простые уравнения:

1. T''(t) = λT(t),
2. X''(x) = (μ/4)X(x),
3. Y''(y) = (η/4)Y(y),

где λ, μ, η - собственные значения.

Граничные условия для X(x) и Y(y):

Граничные условия позволяют нам выбрать:

• X(x) = A sin(kx), где k = nπ/π = n, (n - целое число),
• Y(y) = B sin(my), где m = nπ/π = m, (m - целое число).

Начальное условие:

Начальное условие указывает, что:

u(x, y, 0) = 2 sin(3x) sin(4y).

Это совпадает с разложением в ряды Фурье, где n = 3 и m = 4.

Временная функция:

Временную функцию можем взять в виде:

T(t) = C cos(ωt),

где ω = √(4(n² + m²)).

Общее решение:

Следовательно, общее решение:

u(x, y, t) = C sin(3x) sin(4y) cos(√(4(3² + 4²))t).

Подставляя выражения, получаем:

u(x, y, t) = C sin(3x) sin(4y) cos(10t).

Конечное решение:

Поскольку первоначально заданы амплитуды, конечное решение будет:

u(x, y, t) = 2 sin(3x) sin(4y) cos(10t).

Описание:

Это показывает, как колебания распределяются во времени и пространстве для данного набора граничных и начальных условий.