Уравнение второго порядка

Данное задание относится к области математики, а именно к дифференциальным уравнениям, которые являются частью математического анализа. Уравнение второго порядка, представленное здесь, — это обыкновенное дифференциальное уравнение:

(1 + x^2)y'' - 2xy' = 0

Решим это уравнение, объясняя каждый шаг.

1. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами.

Мы можем попытаться найти его решение методом подстановки. Предположим, что решение имеет вид степенной функции y = x^m.

2. Найдем производные y' и y'':

• y = x^m
• y' = m * x^(m-1)
• y'' = m * (m-1) * x^(m-2)

3. Подставим их в исходное уравнение:

(1 + x^2) * m * (m-1) * x^(m-2) - 2x * m * x^(m-1) = 0

4. Упростим уравнение:

(m * (m-1) * x^(m-2) + m * (m-1) * x^m) - 2m * x^m = 0

5. Разделим уравнение на m (предполагая, что m ≠ 0) и упростим выражение:

m(m-1) * x^(m-2) + (m(m-1) - 2m) * x^m = 0

6. Допустив, что решение имеет ненулевую степень, приравняем каждый коэффициент монома x к нулю:

• Для x^(m-2): m(m-1) = 0
• Это дает m = 0 или m = 1

7. Проверим:

• Для m = 0, y = x^0 = 1, и это решение тривиально соответствует константному решению.
• Для m = 1, y = x, и это также решение уравнения.

8. Таким образом, общие решения дифференциального уравнения будут линейной комбинацией найденных решений:

y = C1 + C2 * x

где C1 и C2 — произвольные константы.

Итак, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка. Поскольку дополнительных начальных условий не предоставлено, это и будет окончательным решением.