Уравнение теплопроводности

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнение теплопроводности (неоднородное уравнение с начальными и граничными условиями)

Условие задачи

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t), \quad D = \{x : 0 < x < l\}, \quad 0 < t 

с начальными и граничными условиями:

 u|_{x=0} = u|_{x=2\pi} = 0, \quad u|_{t=0} = \sin(x/2) - 3 \sin x 

Шаг 1: Представление общего решения

Общее решение неоднородного уравнения теплопроводности представляется в виде:

 u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) 

где:

• v(x,t) — решение соответствующего однородного уравнения (без f(x,t)), но с неоднородным начальным условием
• w(x,t) — частное решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями

Шаг 2: Уточнение задачи

Из условия видно, что функция f(x,t) не задана явно. Но в условии дана только начальная функция:

 u(x,0) = \sin(x/2) - 3 \sin x 

Следовательно, мы предполагаем, что f(x,t) = 0, и задача сводится к однородному уравнению теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 

с начальными и граничными условиями:

 u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, \quad u(x,0) = \sin(x/2) - 3 \sin x 

Шаг 3: Метод решения — Разложение в ряд Фурье

Решение ищем в виде разложения:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-a^2 n^2 t} \sin(n x) 

Обоснование:

• Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с граничными условиями u(0,t) = u(2\pi,t) = 0 — это \sin(n x), n \in \mathbb{N}
• Собственные значения: \lambda_n = n^2

Шаг 4: Разложение начального условия в ряд Фурье

Разложим начальную функцию:

 u(x,0) = \sin(x/2) - 3 \sin x 

в ряд Фурье по базису \{\sin(n x)\} на отрезке [0, 2\pi].

Для этого найдем коэффициенты Фурье:

 c_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \left( \sin(x/2) - 3 \sin x \right) \sin(n x) dx 

Разделим на два интеграла:

 c_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_0^{2\pi} \sin(x/2) \sin(n x) dx - 3 \int_0^{2\pi} \sin x \sin(n x) dx \right) 

Второй интеграл:

 \int_0^{2\pi} \sin x \sin(n x) dx = \begin{cases} \pi, & n = 1 \ 0, & n \ne 1 \end{cases} 

Первый интеграл:

Используем формулу произведения синусов:

 \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] 

Тогда:

 \int_0^{2\pi} \sin(x/2) \sin(n x) dx = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ \cos\left(x(n - \tfrac{1}{2})\right) - \cos\left(x(n + \tfrac{1}{2})\right) \right] dx 

Интеграл косинуса на периоде:

 \int_0^{2\pi} \cos(kx) dx = 0, \quad \text{если } k \ne 0 

Поскольку n \in \mathbb{N}, то n \pm \tfrac{1}{2} \ne 0, следовательно, интегралы равны 0.

Итак:

 \int_0^{2\pi} \sin(x/2) \sin(n x) dx = 0 

Таким образом:

 c_n = \begin{cases} -3, & n = 1 \ 0, & n \ne 1 \end{cases} 

Шаг 5: Запись решения

Подставим найденные коэффициенты в общее решение:

 u(x,t) = -3 e^{-a^2 t} \sin x 

Шаг 6: Проверка

Проверим начальное условие:

 u(x,0) = -3 \sin x 

Но по условию:

 u(x,0) = \sin(x/2) - 3 \sin x 

Мы потеряли слагаемое \sin(x/2) — это значит, что \sin(x/2) не представляется в виде ряда по \sin(n x) на [0,2\pi], потому что это не ортогональная функция на данном базисе.

Следовательно, начальная функция не принадлежит пространству, порождённому базисом \sin(n x).

Это говорит о том, что задача некорректна в рамках предложенного метода — либо необходимо использовать обобщённый базис, либо перейти к численным методам.

Вывод

Решение в рамках стандартного подхода:

 u(x,t) = -3 e^{-a^2 t} \sin x 

Но оно не полностью удовлетворяет начальному условию. Следовательно, полное решение требует более общего подхода (например, разложения \sin(x/2) в ряд Фурье по \sin(n x) с дробными индексами, или численного метода).