Уравнение с разделёнными переменными

Предмет: Дифференциальные уравнения

Теперь рассмотрим утверждения:

1. "Уравнение \( \sin(x + y) \, dx + xy \, dy = 0 \) — уравнение с разделёнными переменными." Чтобы проверить это, попробуем разделить переменные в данном уравнении: \[ \sin(x + y) \, dx + xy \, dy = 0 \] Отделить переменные \( x \) и \( y \) с обеих сторон не удаётся, так как \( \sin(x+y) \) и \( xy \) не позволяют легко отделить переменные. Значит, это не уравнение с разделёнными переменными. Это утверждение неверно.
2. "Множество решений линейного неоднородного дифференциального уравнения образует линейное пространство." Для этого нужно помнить, что множество решений однородного линейного дифференциального уравнения образует линейное пространство. В случае же неоднородного уравнения это множество не является линейным пространством, так как решение неоднородного уравнения является суммой частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Это утверждение неверно.
3. "Уравнение \( x \, dy + y \, dx = 0 \) равносильно уравнению \( \frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \)." Преобразуем уравнение \( x \, dy + y \, dx = 0 \): \[ x \, dy + y \, dx = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( xy \), чтобы преобразовать его в форму с разделёнными переменными: \[ \frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \] Это действительно правильное преобразование. Это утверждение верно.
4. "Верных утверждений нет." Мы определили, что третье утверждение является верным, поэтому данное утверждение неверно.

Ответ: правильным является третье утверждение "Уравнение \( x \, dy + y \, dx = 0 \) равносильно уравнению \( \frac{dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \)".