Уравнение колебания струны и его решение методом разделения переменных (метод Фурье)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, Уравнение колебаний струны, метод Фурье (разделение переменных)

Дано уравнение колебания струны с внешней силой:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + Ae^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right), 

с начальными и граничными условиями:

 u(x, 0) = 0, \quad \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x, 

 u(0, t) = 0, \quad u(\pi, t) = 0. 

Шаг 1: Разделим решение на однородную и неоднородную часть

Общее решение уравнения представим в виде:

 u(x, t) = u_1(x, t) + u_2(x, t), 

где:

• u_1(x, t) — решение однородного уравнения (без внешней силы),
• u_2(x, t) — частное решение неоднородного уравнения.

Часть 1: Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:

 \frac{\partial^2 u_1}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}, 

с начальными и граничными условиями:

 u_1(x, 0) = 0, \quad \frac{\partial u_1(x, 0)}{\partial t} = 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x, 

 u_1(0, t) = 0, \quad u_1(\pi, t) = 0. 

Решим методом разделения переменных. Пусть:

 u_1(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n \cos(a n t) + B_n \sin(a n t) \right) \sin(n x). 

Начальное условие u_1(x, 0) = 0 дает:

 \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n x) = 0 \Rightarrow A_n = 0. 

Условие на производную:

 \frac{\partial u_1}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} a n B_n \cos(0) \sin(n x) = \sum_{n=1}^{\infty} a n B_n \sin(n x). 

Сравним с правой частью:

 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x. 

Разложим это произведение в ряд Фурье по функции \sin(n x) на [0, \pi]:

Используем формулу:

 \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]. 

Тогда:

 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x = 2 \left[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \right]. 

Теперь нужно разложить \cos\left(\frac{x}{2}\right) и \cos\left(\frac{5x}{2}\right) в ряд Фурье по \sin(n x). Это делается вычислением коэффициентов Фурье, но в данном случае проще сразу перейти к вычислению коэффициентов B_n:

 a n B_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x \sin(n x) dx. 

Это громоздкий интеграл, но можно воспользоваться численным методом или компьютерной алгеброй, чтобы найти ненулевые B_n.

Часть 2: Частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдём частное решение u_2(x, t) для:

 \frac{\partial^2 u_2}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2} + A e^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right), 

с нулевыми начальными и граничными условиями.

Предположим, что u_2(x, t) имеет вид:

 u_2(x, t) = e^{-t} \cdot X(x). 

Подставим в уравнение:

 \frac{\partial^2 u_2}{\partial t^2} = e^{-t} X(x), 

 \frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2} = e^{-t} X''(x), 

получим:

 e^{-t} X(x) = a^2 e^{-t} X''(x) + A e^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Сократим на e^{-t}:

 X(x) = a^2 X''(x) + A \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Это ОДУ второго порядка:

 a^2 X''(x) - X(x) = -A \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Решим методом вариации постоянных или методом неопределённых коэффициентов. Общее решение:

Общее решение однородного уравнения:

 X_h(x) = C_1 \sin\left(\frac{x}{a}\right) + C_2 \cos\left(\frac{x}{a}\right). 

Частное решение X_p(x) ищем в виде:

 X_p(x) = B \cos\left(\frac{x}{2}\right), 

Подставим:

 X_p'' = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 B \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{4} B \cos\left(\frac{x}{2}\right), 

 a^2 X_p'' - X_p = -\frac{a^2}{4} B \cos\left(\frac{x}{2}\right) - B \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -A \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Тогда:

 B \left( \frac{a^2}{4} + 1 \right) = A \Rightarrow B = \frac{A}{\frac{a^2}{4} + 1}. 

Итак, частное решение:

 u_2(x, t) = \frac{A}{\frac{a^2}{4} + 1} e^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Итоговое решение

 u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(a n t) \sin(n x) + \frac{A}{\frac{a^2}{4} + 1} e^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Где коэффициенты B_n находятся из разложения:

 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x = \sum_{n=1}^{\infty} a n B_n \sin(n x). 

Если нужно, я могу вычислить конкретные B_n численно.