Уравнение колебания струны и его решение методом Даламбера

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнения математической физики
Тема: Уравнение колебания струны и его решение методом Даламбера

Задание:

Рассмотрим задачу на решение волнового уравнения с начальными условиями:

 \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= 81 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \ u(x,0) &= 0, \ \frac{\partial u(x,0)}{\partial t} &= \cos x. \end{aligned} \right. 

Это одномерное волновое уравнение с начальными условиями. Его удобно решать методом Даламбера.

Шаг 1: Общий вид решения по методу Даламбера

Общий вид решения одномерного волнового уравнения:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 

имеет вид:

 u(x,t) = \frac{1}{2} \left[ f(x - at) + f(x + at) \right] + \frac{1}{2a} \int_{x - at}^{x + at} g(s) \, ds, 

где:

• f(x) — начальное смещение: u(x,0) = f(x),
• g(x) — начальная скорость: \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} = g(x),
• a — скорость распространения волны.

Шаг 2: Подставим данные из условия

Из уравнения:  \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 81 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}  получаем, что a = 9.

Начальные условия:

• u(x,0) = 0 \Rightarrow f(x) = 0,
• \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} = \cos x \Rightarrow g(x) = \cos x.

Шаг 3: Подставим в формулу Даламбера

Так как f(x) = 0, то первая часть решения зануляется:

 u(x,t) = \frac{1}{2a} \int_{x - at}^{x + at} g(s) \, ds = \frac{1}{2 \cdot 9} \int_{x - 9t}^{x + 9t} \cos s \, ds 

Шаг 4: Вычислим интеграл

 \int_{x - 9t}^{x + 9t} \cos s \, ds = \left. \sin s \right|_{x - 9t}^{x + 9t} = \sin(x + 9t) - \sin(x - 9t) 

Тогда:

 u(x,t) = \frac{1}{18} [\sin(x + 9t) - \sin(x - 9t)] 

Шаг 5: Упростим выражение

Используем формулу разности синусов:

 \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) 

Применим:

 \sin(x + 9t) - \sin(x - 9t) = 2 \cos(x) \sin(9t) 

Тогда:

 u(x,t) = \frac{1}{18} \cdot 2 \cos(x) \sin(9t) = \frac{1}{9} \cos(x) \sin(9t) 

✅ Ответ:

 \boxed{u(x,t) = \frac{1}{9} \cos(x) \sin(9t)} 

Это и есть решение задачи методом Даламбера.