Указать тип уравнения. Решить дифференциальное уравнение 1 порядка

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в общем виде: \( x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 + xy \) Попробуем решить это уравнение методом разделения переменных. Для начала приведем уравнение к стандартному виду: \( x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 + xy \) Разделим обе части уравнения на \(x^2\): \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + xy}{x^2} \) Представим правую часть уравнения, используя разложение знаменателя: \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{xy}{x^2} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x} \) Обозначим \( \frac{y}{x} = u \Rightarrow y = ux \). Дифференцируем \( y = ux \) по \( x \): \( \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \) Подставим это выражение в исходное уравнение: \( u + x \frac{du}{dx} = u^2 + u \) Упростим: \( x \frac{du}{dx} = u^2 + u - u = u^2 \) Разделим обе части на \( u^2 \): \( \frac{1}{u^2} du = \frac{1}{x} dx \) Теперь можно интегрировать обе части: \( \int \frac{1}{u^2} du = \int \frac{1}{x} dx \) Для левой части используем интеграл \( \int u^{-2} du \): \( \int u^{-2} du = -u^{-1} = -\frac{1}{u} \) Итак, интегрирование левой части дает: \( -\frac{1}{u} \) Интегрирование правой части дает: \( \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C \) Соединим результаты: \( -\frac{1}{u} = \ln |x| + C \) Возвращаемся к переменной \( y \), вспомнив, что \( u = \frac{y}{x} \): \( -\frac{x}{y} = \ln |x| + C \) Перемножим обе части на \( -1 \): \( \frac{x}{y} = -\ln |x| - C \) И, наконец, выразим \( y \): \( y = \frac{x}{-\ln |x| - C} \) Это общее решение данного дифференциального уравнения.