Указать тип уравнения. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Этот вид задачи относится к предмету "Дифференциальные уравнения" в разделе "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений".

Исходное дифференциальное уравнение имеет вид: $\text{[}x{y}^{\prime }=\frac{3y^3+4y{x}^2}{2y^2+2x^2}\text{]}$ Где $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{dy}{dx}\text{)}$.

1. Упрощение уравнения: Разделим правую часть на 2: $\text{[}x{y}^{\prime }=\frac{3y^3+4y{x}^2}{2y^2+2x^2}=\frac{\frac{3y^3}{2}+2y{x}^2}{y^2+x^2}\text{]}$ $\text{[}x{y}^{\prime }=\frac{\frac{3y^3}{2}+2y{x}^2}{y^2+x^2}\text{]}$ Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением.
2. Замена переменных: Для решения такого уравнения можно использовать замену $\text{(}y=vx\text{)}$, где $\text{(}v=\frac{y}{x}\text{)}$. Тогда $\text{(}{y}^{\prime }=v+x{v}^{\prime }\text{)}$. Подставим $\text{(}y=vx\text{)}$ и $\text{(}{y}^{\prime }=v+x{v}^{\prime }\text{)}$ в уравнение: $\text{[}x(v+x{v}^{\prime })=\frac{3(vx{)}^3+4(vx)x^2}{2(vx{)}^2+2x^2}\text{]}$ $\text{[}x(v+x{v}^{\prime })=\frac{3v^3{x}^3+4v{x}^3}{2v^2{x}^2+2x^2}\text{]}$ $\text{[}x(v+x{v}^{\prime })=\frac{x^3(3v^3+4v)}{x^2(2v^2+2)}\text{]}$ $\text{[}x(v+x{v}^{\prime })=\frac{x(3v^3+4v)}{2v^2+2}\text{]}$ $\text{[}v+x{v}^{\prime }=\frac{3v^3+4v}{2v^2+2}\text{]}$ Используем метод деления членов: $\text{[}\frac{v+x{v}^{\prime }}{1}=\frac{3v^3+4v}{2v^2+2}\text{]}$ $\text{[}x{v}^{\prime }=\frac{3v^3+4v}{2v^2+2}-v\text{]}$ $\text{[}x{v}^{\prime }=\frac{3v^3+4v-v(2v^2+2)}{2v^2+2}\text{]}$ $\text{[}x{v}^{\prime }=\frac{3v^3+4v-2v^3-2v}{2v^2+2}\text{]}$ $\text{[}x{v}^{\prime }=\frac{v^3+2v}{2v^2+2}\text{]}$ $\text{[}x{v}^{\prime }=\frac{v(v^2+2)}{2(v^2+1)}\text{]}$ $\text{[}{v}^{\prime }=\frac{v(v^2+2)}{2x(v^2+1)}\text{]}$ $\text{[}{v}^{\prime }=\frac{v}{2x}\text{]}$
3. Интегрирование: Разделим переменные и проинтегрируем: $\text{[}dv=\frac{v}{2x}dx\text{]}$ $\text{[}\frac{dv}{v}=\frac{dx}{2x}\text{]}$ Интегрируем обе части: $\text{[}\int \frac{1}{v}dv=\int \frac{1}{2x}dx\text{]}$ $\text{[}\ln |v|=\frac{1}{2}\ln |x|+C\text{]}$ $\text{[}\ln |v|=\ln |x{|}^{1/2}+C\text{]}$ $\text{[}\ln |v|=\ln |C\cdot x{|}^{1/2}\text{]}$ $\text{[}|v|=|C\cdot x^{1/2}|\text{]}$ $\text{[}v=C\cdot x^{1/2}\text{]}$ Вернемся к замене $\text{(}v=\frac{y}{x}\text{)}$: $\text{[}\frac{y}{x}=C\cdot x^{1/2}\text{]}$ $\text{[}y=C\cdot x^{1/2}\cdot x\text{]}$ $\text{[}y=C\cdot x^{3/2}\text{]}$ Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид: $\text{[}y=C\cdot x^{3/2}\text{]}$