Указать тип уравнения. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Этот вид задачи относится к предмету "Дифференциальные уравнения" в разделе "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений".

Исходное дифференциальное уравнение имеет вид: \[ xy' = \frac{3y^3 + 4yx^2}{2y^2 + 2x^2} \] Где \( y' = \frac{dy}{dx} \).

1. Упрощение уравнения: Разделим правую часть на 2: \[ xy' = \frac{3y^3 + 4yx^2}{2y^2 + 2x^2} = \frac{\frac{3y^3}{2} + 2yx^2}{y^2 + x^2} \] \[ xy' = \frac{\frac{3y^3}{2} + 2yx^2}{y^2 + x^2} \] Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением.
2. Замена переменных: Для решения такого уравнения можно использовать замену \( y = vx \), где \( v = \frac{y}{x} \). Тогда \( y' = v + xv' \). Подставим \( y = vx \) и \( y' = v + xv' \) в уравнение: \[ x(v + xv') = \frac{3(vx)^3 + 4(vx)x^2}{2(vx)^2 + 2x^2} \] \[ x(v + xv') = \frac{3v^3x^3 + 4vx^3}{2v^2x^2 + 2x^2} \] \[ x(v + xv') = \frac{x^3(3v^3 + 4v)}{x^2(2v^2 + 2)} \] \[ x(v + xv') = \frac{x(3v^3 + 4v)}{2v^2 + 2} \] \[ v + xv' = \frac{3v^3 + 4v}{2v^2 + 2} \] Используем метод деления членов: \[ \frac{v + xv'}{1} = \frac{3v^3 + 4v}{2v^2 + 2} \] \[ xv' = \frac{3v^3 + 4v}{2v^2 + 2} - v \] \[ xv' = \frac{3v^3 + 4v - v(2v^2 + 2)}{2v^2 + 2} \] \[ xv' = \frac{3v^3 + 4v - 2v^3 - 2v}{2v^2 + 2} \] \[ xv' = \frac{v^3 + 2v}{2v^2 + 2} \] \[ xv' = \frac{v(v^2 + 2)}{2(v^2 + 1)} \] \[ v' = \frac{v(v^2 + 2)}{2x(v^2 + 1)} \] \[ v' = \frac{v}{2x} \]
3. Интегрирование: Разделим переменные и проинтегрируем: \[ dv = \frac{v}{2x} dx \] \[ \frac{dv}{v} = \frac{dx}{2x} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{1}{v} dv = \int \frac{1}{2x} dx \] \[ \ln|v| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \] \[ \ln|v| = \ln|x|^{1/2} + C \] \[ \ln|v| = \ln|C \cdot x|^{1/2} \] \[ |v| = |C \cdot x^{1/2}| \] \[ v = C \cdot x^{1/2} \] Вернемся к замене \( v = \frac{y}{x} \): \[ \frac{y}{x} = C \cdot x^{1/2} \] \[ y = C \cdot x^{1/2} \cdot x \] \[ y = C \cdot x^{3/2} \] Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид: \[ y = C \cdot x^{3/2} \]