Указать несобственный интеграл второго рода

Предмет данного задания — математический анализ, а конкретно — интегралы, в том числе собственные и несобственные интегралы.

Несобственный интеграл второго рода — это интеграл, в котором подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в промежутке интегрирования. То есть, функция не определена или стремится к бесконечности в одной из точек промежутка интегрирования. Рассмотрим каждый из интегралов:

A) \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\)

• Подынтегральная функция \(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) имеет разрыв при \(x = 1\), потому что \(\sqrt{1-x}\) стремится к нулю при \(x \rightarrow 1\), а \(\frac{1}{0}\) неопределенно или бесконечно.
• Таким образом, это несобственный интеграл второго рода.

Б) \(\int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2}\)

• Здесь промежуток интегрирования бесконечен (\(-\infty\) до \(0\)), что указывает на несобственный интеграл первого рода, а не второго.

В) \(\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}\)

• Здесь подынтегральная функция \(\frac{1}{1+x^2}\) является непрерывной и ограниченной на промежутке \([0, 1]\), так что это определенный интеграл.

Г) \(\int_{-1}^0 \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\)

• Обратим внимание на подынтегральную функцию \(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\). Она имеет разрыв при \(x=1\) (то есть вне промежутка интегрирования), однако поскольку пределы интегрирования -1 и 0, внутри этого промежутка разрывов нет. Поэтому это не несобственный интеграл второго рода.

Таким образом, правильный ответ — A) \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\).