Структура частного решения неоднородного линейногодифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные уравнения с постоянными коэффициентами)

Задание: Найти структуру частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' + 9y' = x^2 + 4x - 3

Шаг 1: Общая форма неоднородного линейного уравнения

Уравнение имеет вид:

y'' + 9y' = f(x),
где f(x) = x^2 + 4x - 3 — это правая часть, полином второй степени.

Шаг 2: Структура общего решения

Общее решение неоднородного линейного уравнения состоит из двух частей:

y(x) = y_{\text{общ}}(x) = y_{\text{общ}}^{\text{одн}}(x) + y_{\text{частн}}(x)

где:

• y_{\text{общ}}^{\text{одн}}(x) — общее решение соответствующего однородного уравнения,
• y_{\text{частн}}(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 3: Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' + 9y' = 0

Решим характеристическое уравнение:

r^2 + 9r = 0

Вынесем r за скобки:

r(r + 9) = 0

Корни: r = 0 и r = -9

Значит, общее решение однородного уравнения:

y_{\text{общ}}^{\text{одн}}(x) = C_1 + C_2 e^{-9x}

Шаг 4: Частное решение неоднородного уравнения

Правая часть — полином второй степени: f(x) = x^2 + 4x - 3

По методу неопределённых коэффициентов, если правая часть — полином степени n, то ищем частное решение в виде полинома той же степени:

Пусть:

y_{\text{частн}}(x) = Ax^2 + Bx + C

Найдём производные:

• y' = 2Ax + B
• y'' = 2A

Подставим в уравнение:

y'' + 9y' = 2A + 9(2Ax + B) = 2A + 18Ax + 9B

Приравниваем к правой части:

18Ax + 2A + 9B = x^2 + 4x - 3

Сравним коэффициенты при соответствующих степенях x:

• При x^2: слева нет такого члена ⇒ коэффициент 0, справа 1 ⇒ противоречие

Это означает, что выбранная форма частного решения не подходит, потому что правая часть содержит член x^2, а левая — нет.

Значит, мы допустили ошибку в выборе формы частного решения. Почему?

Потому что в однородном решении нет полинома, и, следовательно, мы можем использовать обычную форму полинома второй степени.

Но мы видим, что в левой части после подстановки частного решения отсутствует x^2. Это потому, что производные от Ax^2 + Bx + C дают максимум 2Ax в первой производной, а во второй — просто число.

Значит, чтобы получить x^2 в левой части, нам нужно, чтобы в частном решении была третья производная — но у нас уравнение второго порядка. Следовательно, из полинома Ax^2 + Bx + C после взятия производных исчезает x^2.

Это говорит о том, что мы допустили логическую ошибку: на самом деле, в уравнении нет члена y, и поэтому при подстановке полинома второй степени мы не можем получить x^2.

Значит, нужно попробовать другое частное решение. Попробуем:

Пусть:

y_{\text{частн}}(x) = Dx^3 + Ax^2 + Bx + C

Почему берем степень выше? Потому что производные от x^3 дадут x^2, что позволит получить нужный член.

Найдём производные:

• y' = 3Dx^2 + 2Ax + B
• y'' = 6Dx + 2A

Подставим в уравнение:

y'' + 9y' = (6Dx + 2A) + 9(3Dx^2 + 2Ax + B)
= 6Dx + 2A + 27Dx^2 + 18Ax + 9B
= 27Dx^2 + (6D + 18A)x + (2A + 9B)

Сравним с правой частью:

x^2 + 4x - 3

Теперь приравниваем коэффициенты:

• 27D = 1 ⇒ D = \frac{1}{27}

• 6D + 18A = 4
  Подставим D = \frac{1}{27}:

  6 \cdot \frac{1}{27} + 18A = 4
  \frac{2}{9} + 18A = 4
  18A = 4 - \frac{2}{9} = \frac{34}{9}
  A = \frac{34}{162} = \frac{17}{81}

• 2A + 9B = -3
  2 \cdot \frac{17}{81} + 9B = -3
  \frac{34}{81} + 9B = -3
  9B = -3 - \frac{34}{81} = \frac{-243 - 34}{81} = \frac{-277}{81}
  B = \frac{-277}{729}

Значит, частное решение:

y_{\text{частн}}(x) = \frac{1}{27}x^3 + \frac{17}{81}x^2 - \frac{277}{729}x + C

Но так как мы ищем структуру частного решения, нас не просят находить точные коэффициенты.

Ответ:

Структура частного решения неоднородного уравнения:

y_{\text{частн}}(x) = x^3 + x^2 + x + \text{const}

(с точностью до неопределённых коэффициентов)

✅ Ответ:
Структура частного решения имеет вид:

y_{\text{частн}}(x) = x^3 + x^2 + x + \text{const}