Структура частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Задание:
Найти структуру частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' - 3y' = -28x

Шаг 1. Общий вид неоднородного линейного уравнения

Уравнение имеет вид:

y'' - 3y' = -28x

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение состоит из двух частей:

y(x) = y_{\text{общ}}(x) = y_{\text{общ. одн}}(x) + y_{\text{частн}}(x)

• y_{\text{общ. одн}}(x) — общее решение соответствующего однородного уравнения.
• y_{\text{частн}}(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 2. Решим однородное уравнение

Сначала решим однородное уравнение:

y'' - 3y' = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 3r = 0

Решим его:

r(r - 3) = 0
r_1 = 0, r_2 = 3

Значит, общее решение однородного уравнения:

y_{\text{общ. одн}}(x) = C_1 e^{0x} + C_2 e^{3x} = C_1 + C_2 e^{3x}

Шаг 3. Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения — это многочлен первой степени:

-28x

Значит, частное решение ищем в виде многочлена той же степени:

y_{\text{частн}}(x) = Ax + B

Подставим его в исходное уравнение:

Найдём производные:

• y' = A
• y'' = 0

Подставим в уравнение:

y'' - 3y' = 0 - 3A = -28x

Но левая часть получилась константой, а правая — линейная функция. Это значит, что наша догадка была недостаточной.

Чтобы получить линейную функцию при подстановке, нужно взять частное решение в виде квадратичного многочлена:

y_{\text{частн}}(x) = Ax^2 + Bx + C

Найдём производные:

• y' = 2Ax + B
• y'' = 2A

Подставим в уравнение:

y'' - 3y' = 2A - 3(2Ax + B) = 2A - 6Ax - 3B

Приравниваем к правой части:

2A - 6Ax - 3B = -28x

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

• При x: -6A = -28 → A = \frac{14}{3}
• При x^0: 2A - 3B = 0

Подставим A = \frac{14}{3}:

2 \cdot \frac{14}{3} - 3B = 0 → \frac{28}{3} = 3B → B = \frac{28}{9}

Таким образом, частное решение:

y_{\text{частн}}(x) = \frac{14}{3}x^2 + \frac{28}{9}x + C

Поскольку в частном решении можно отбросить произвольную константу (она входит в общее решение), окончательно:

Ответ:

Структура частного решения имеет вид:

y_{\text{частн}}(x) = \frac{14}{3}x^2 + \frac{28}{9}x

Это и есть искомая структура.