Среди систем функций указать фундаментальную систему решений уравнения

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дано дифференциальное уравнение:
 y'' + y = 0 

1. Найдем общее решение

Характеристическое уравнение имеет вид:
 r^2 + 1 = 0 
Решая его, получаем корни:
 r = \pm i 

Общее решение уравнения:
 y = C_1 \cos x + C_2 \sin x 

2. Определение фундаментальной системы решений

Фундаментальная система решений — это линейно независимые решения, которые составляют общее решение уравнения. В данном случае фундаментальной системой решений является набор функций  \cos x  и  \sin x .

3. Выбор правильного ответа

Рассмотрим предложенные варианты:

1.  \cos x, \sin x  ✅
2.  e^{2x} \cos x, e^{2x} \sin x  ❌ (не являются решениями данного уравнения)
3.  \cos 3x, \sin 3x  ❌ (решения уравнения  y'' + 9y = 0 )
4.  e^x, e^{2x}  ❌ (не являются решениями данного уравнения)

Ответ: Фундаментальная система решений — первый вариант:
 \cos x, \sin x  ✅