Среди несобственных интегралов первого и второго рода указать сходящиеся

Предмет: Математический анализ
Раздел: Несобственные интегралы

Рассмотрим каждый из данных интегралов и определим их сходимость.

1. Интеграл

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2}}

Для исследования сходимости этого интеграла используем сравнение с интегралом вида \int \frac{dx}{x}, который расходится.

При больших x имеем:
\sqrt{x^2 + 2} \approx x,
поэтому
\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \approx \frac{1}{x}.

Так как интеграл \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} расходится (это гармонический интеграл), то и данный интеграл расходится.

Вывод: расходится.

2. Интеграл

\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}

Запишем интеграл в виде:
\int_{0}^{1} x^{-1/2} dx.

Вычислим:
\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}.

При подстановке пределов:
2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2 - 0 = 2.

Так как ответ конечен, интеграл сходится.

Вывод: сходится.

3. Интеграл

\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 - x)^3}

Заменим t = 1 - x, тогда при x \to 1 имеем t \to 0.

Интеграл принимает вид:
\int_{0}^{1} t^{-3} dt.

Вычислим:
\int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2t^2}.

При подстановке пределов:
\lim_{t \to 0} -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2} \to \infty.

Так как интеграл расходится, то он не сходится.

Вывод: расходится.

4. Интеграл

\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3}}

Запишем в виде:
\int_{0}^{\infty} x^{-3/2} dx.

Вычислим:
\int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2}.

При подстановке пределов:
\lim_{x \to \infty} -2x^{-1/2} + \lim_{x \to 0} 2x^{-1/2}.

Так как x^{-1/2} стремится к бесконечности при x \to 0, интеграл расходится.

Вывод: расходится.

5. Интеграл

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x}}

Для больших x имеем:
\sqrt{x^2 + 2x} \approx \sqrt{x^2} = x.

Тогда
\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}} \approx \frac{1}{x}.

Так как интеграл \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} расходится, то и данный интеграл расходится.

Вывод: расходится.

Окончательный ответ:

Сходится только интеграл №2.