Среди данных уравнений найдите уравнение Бернулли

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Уравнение Бернулли:

Уравнение Бернулли имеет общий вид: \[ y' + P(x)y = Q(x)y^n \]

Анализ уравнений:

a) \( y' = 3x^2y - x^2 \)
Это уравнение имеет вид: \[ y' - 3x^2y = -x^2 \]
Совпадает с формой уравнения Бернулли, если представить его так: \( P(x) = -3x^2 \), \( Q(x) = -x^2 \), \( n = 1 \).
Значение \( n \) должно быть не равно 1 для уравнения Бернулли, следовательно, данное уравнение не является уравнением Бернулли.

b) \( xy' + y = xy^2 \)
Приведем к стандартному виду: \[ y' + \frac{y}{x} = y^2 \]
Здесь \( P(x) = \frac{1}{x} \), \( Q(x) = 1 \), и \( n = 2 \).
Это уравнение совпадает с формой уравнения Бернулли, так как \( n \neq 1 \).

c) \( y = xy + (y^3) \)
Это уравнение явно не соответствует форме уравнения Бернулли.

Таким образом, уравнение Бернулли среди данных - это уравнение под буквой b).

Решим уравнение Бернулли:

Уравнение: \[ y' + \frac{y}{x} = y^2 \]
Введем замену \( z = y^{1-n} \), где \( n = 2 \):
\[ z = y^{-1} \Rightarrow y = z^{-1} \]
Найдем производную:
\[ y' = -z^{-2} \frac{dz}{dx} \]
Подставим в исходное уравнение:
\[ -z^{-2} \frac{dz}{dx} + \frac{z^{-1}}{x} = z^{-2} \]
Умножим на \( -z^2 \):
\[ \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -1 \]
Приведем уравнение к линейному виду:
\[ \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -1 \]
Решим это линейное уравнение с помощью метода вариации постоянных:
Найдём общее решение однородного уравнения:
\[ \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = 0 \]
\[ \frac{dz}{z} = \frac{dx}{x} \]
\[ \ln|z| = \ln|x| + C \]
\[ z = Cx \]
Введем функцию \( \mu(x) \) (интегрирующий множитель):
\[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x} \]
Перемножим обе части уравнения на \( \mu(x) \):
\[ \frac{1}{x} \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x^2} = -\frac{1}{x} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{z}{x} \right) = -\frac{1}{x} \]
Интегрируем:
\[ \frac{z}{x} = \ln|x| + C \]
\[ z = x(\ln|x| + C) \]
Вспомним замену \( z = y^{-1} \):
\[ y^{-1} = x (\ln|x| + C) \]
\[ y = \frac{1}{x(\ln|x| + C)} \]
Используем начальное условие \( y(1) = 2 \):
\[ 2 = \frac{1}{1(\ln|1| + C)} \]
\[ 2 = \frac{1}{C} \]
\[ C = \frac{1}{2} \]
Тогда решение:
\[ y = \frac{1}{x (\ln|x| + \frac{1}{2})} \]
Это решение уравнения Бернулли с данным начальными условиями.