Составить уравнение касательной к графику функции в точке

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) в точке x_0 необходимо использовать уравнение касательной в общем виде:

 y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) 

Шаг 1: Найдем значение функции в точке x_0 = 1

Дана функция:

 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 

Подставляем x_0 = 1:

 f(1) = 1^3 - 2(1^2) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 

Шаг 2: Найдем производную функции

Находим производную:

 f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 2x^2 + 3) 

Применяем правила дифференцирования:

 f'(x) = 3x^2 - 4x 

Шаг 3: Вычисляем значение производной в точке x_0 = 1

 f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = 3 - 4 = -1 

Шаг 4: Записываем уравнение касательной

Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

 y = 2 + (-1)(x - 1) 

Упрощаем:

 y = 2 - x + 1 

 y = -x + 3 

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 в точке x_0 = 1:

 y = -x + 3