Составить дифференциальное уравнение

Это задание относится к предмету "Высшая математика", раздел "Дифференциальные уравнения".

Мы имеем семейство кривых, заданное уравнением \(y = C \sin(x)\), где \(C\) - произвольная константа. Нам необходимо составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет это семейство кривых.

1. Запишем уравнение семейства кривых: \[y = C \sin(x)\]
2. Найдем первую производную \(y\) по \(x\): \[\frac{dy}{dx} = y' = C \cos(x)\]
3. Выразим \(C\) из исходного уравнения: \[C = \frac{y}{\sin(x)}\]
4. Подставим выражение для \(C\) в уравнение для производной: \[y' = C \cos(x) = \left(\frac{y}{\sin(x)}\right) \cos(x) = y \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = y \cot(x)\]

Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет данное семейство кривых, имеет вид: \[y' = y \cot(x)\] Это и есть искомое дифференциальное уравнение для семейства кривых \(y = C \sin(x)\).