Составить 15 задач по теме функция двух переменных

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, функции нескольких переменных

Вот 15 задач по теме "Функция двух переменных":

Задачи на вычисление значений функции

1. Дана функция f(x, y) = x^2 + y^2. Найдите f(2, 3).
2. Дана функция g(x, y) = e^{x+y} - xy. Вычислите g(0,1).
3. Дана функция h(x, y) = \frac{x+y}{x-y}. Определите значение h(3,1).

Задачи на область определения

4. Найдите область определения функции f(x, y) = \sqrt{x - y}.
5. Определите область определения функции g(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2 - 4}.
6. Найдите область определения функции h(x, y) = \ln(x^2 - y).

Задачи на частные производные

7. Найдите частные производные \frac{\partial f}{\partial x} и \frac{\partial f}{\partial y} для функции f(x, y) = x^3y + y^2.
8. Вычислите \frac{\partial g}{\partial x} и \frac{\partial g}{\partial y} для g(x, y) = e^x \sin y.
9. Найдите вторые частные производные \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} и \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} для f(x, y) = x^2y + y^3.

Задачи на градиент и направление наибольшего роста

10. Найдите градиент функции f(x, y) = x^2 + y^2 в точке (1,2).
11. Определите направление, в котором функция g(x, y) = x e^y возрастает быстрее всего в точке (0,0).
12. Вычислите производную функции f(x, y) = x^2 + y^2 в направлении вектора (1,1) в точке (1,1).

Задачи на экстремумы

13. Найдите критические точки функции f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y.
14. Определите, является ли точка (1,1) точкой локального экстремума для функции g(x, y) = x^3 - 3xy + y^3.
15. Найдите локальные экстремумы функции h(x, y) = x^2 + y^2 - xy.

Эти задачи охватывают основные темы, связанные с функциями двух переменных: вычисление значений, нахождение области определения, частные производные, градиенты и экстремумы.