Сопоставить дифференциальное уравнение и его общее решение

Этот вопрос из математического анализа, подраздел дифференциальных уравнений. Посмотрим на каждое дифференциальное уравнение и его возможное общее решение.

1. Уравнение \( y' = 10^x + y \)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его:

\[ y' - y = 10^x \]

Методы решения:

1. Введем интегрирующий множитель \( \mu(x) = e^{-\int 1 dx} = e^{-x} \).
2. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:\[ e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}10^x \]

Левая часть - это полное дифференцирование произведения \( e^{-x}y \):

\[ (e^{-x}y)' = e^{x(\ln 10 - x)} \]

Интегрируя обе части, получим:

\[ e^{-x}y = \int 10^x e^{-x} dx = \int e^{(x \ln 10)-x}dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \]

Умножая на \(e^x\), получаем:

\[ y = 10^x + Ce^x \]

Это соответствует решению \( \boxed{A} \)

2. Уравнение \( x^2 y' + y = 0 \)

Однородное дифференциальное уравнение типа Бернулли. Решим его:

\[ x^2 y' = -y \]

\[ y' + \frac{1}{x^2} y = 0 \]

Это уравнение может быть решено методом разделения переменных. Переписываем его в форме:

\[ y' = -\frac{y}{x^2} \]

Разделяем переменные и интегрируем:

\[ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x^2} \]

\[ \ln |y| = \frac{1}{x} + C' \]

Возводим обе части в степень \( e \):

\[ y = Ce^{\frac{1}{x}} \]

Это соответствует решению \( \boxed{D} \)

3. Уравнение \( yy' + x = 1 \)

Однородное дифференциальное уравнение. Преобразование переменных сюда может помочь. Сделаем замену переменной. Разделяем переменные и интегрируем:

\[ yy' = 1 - x \]

\[ \int y \, dy = \int (1 - x) \, dx \]

\[ \frac{y^2}{2} = x - \frac{x^2}{2} + C \]

Это уравнение может быть снова объединено:

\[ x - \frac{x^2}{2} + C = \frac{y^2}{2} \]

Соответствует решению \( \boxed{B} \)

4. Уравнение \( y' = 2 \cos x \sin y \)

Это уравнение с переменными, которые можно разделить:

\[ \frac{dy}{\sin y} = 2 \cos x dx \]

Интегрируя обе стороны:

\[ \ln |\tan \frac{y}{2}| = 2 \sin x + C \]

Это соответствует решению \( \boxed{C} \)

Итак, соответствие следующее:

• \( y' = 10^x + y \) - \( \boxed{A} \)
• \( x^2y' + y = 0 \) - \( \boxed{D} \)
• \( y'y + x = 1 \) - \( \boxed{B} \)
• \( y' = 2 \cos x \sin y \) - \( \boxed{C} \)